【正文】 24) 它在 x 、 y 和 z 增加方向的微分元分別為 dx 、 dy 和 dz ，而與單位坐標(biāo)矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為： d y d zdSx? ( 1 25) d x d zdSy? ( 1 26) dx dydSz? ( 1 27) 體積元可表示為： d x d y d zdV ? ( 1 28) 2 、 圓柱坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量是 ? 、 ? 和 z ，它們的變化范圍分別是： ??? ?0 ， ?? 20 ?? ， ?????? z ( 1 29) xyz?e ?ezeM0??ρ0?? ?0zz ?半 平 面平 面曲 面0? 圖 圓柱坐標(biāo)系 若空間中任一點(diǎn) M 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分量確定，假設(shè)為（ 0ρ , 0Φ ， 0z ） , 則點(diǎn) M 即是 0??ρ 的圓柱面 , 0?? ? 的半平面 , 0zz ? 的平面的交點(diǎn) , 見圖 ，圓柱坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量是 ?e 、 ?e 和 ze ，它的主要特點(diǎn)是三個(gè)單位坐標(biāo)矢量之間符合右手螺旋原則，其中除 ze 是常矢量外， ?e 、 ?e 都是變矢量，方向均隨點(diǎn) M 的位置改變 。 yxz?dz?d?? d ?d?z 圖 1 . 7 圓柱坐標(biāo)系的長度元、面積元和體積元 在圓柱坐標(biāo)系中，位置矢量可表示為： zz????R e e ( 1 31) 位置矢量的微分元是： ( ) ( )zzd d d z d d dz? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?R e e e e e ( 1 32) 它在 ρ 、 Φ 和 z 增加方向的微分元分別為 ?d 、 ?? d 和 dz ，如圖 所示， ?d 、 ?? d 和 dz 都是長度。 xyz?? ?d?ddr?rd?? dr s in 圖 球坐標(biāo)系的長度元、面積元和體積元 與單位坐標(biāo)矢量相垂直的三個(gè)球坐標(biāo)的面積元分別為： ??? ddrdSrs i n2? ( 1 41) ???d r drdS s i n? ( 1 42) ??rd rddS ? ( 1 43) 體積元可表示為： ??? dd r drdV s i n3? ( 1 44) 1 . 3 . 2 三種 坐標(biāo)系 之間 的 相互 轉(zhuǎn)換 （ 1 ）直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的關(guān)系 ????????zzyx????s i nc o s ( 1 45) 或 ???????????zzxyyxa r c t a n22?? ( 1 46) （ 2 ）直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系 ?????????????c o ss i ns i nc o ss i nrzryrx ( 1 47) 或 ????????????????xyzyxzzyxra r c t a na r c c o s222222?? ( 1 48) （ 3 ）柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系 ?????????????c o ss i nrzr ( 1 49) 或 ?????????????????2222a r c c o szzzr ( 1 50) 直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的 單位坐標(biāo)矢量 的關(guān)系滿足： ???????????zzyxyxeeeeeeee??????co ss i ns i nco s ( 1 51) 或 ??????????zzyxeeeeeeee????????co sco ss i nco s ( 1 52) 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量的關(guān)系滿足： ????????????????????????????co ss i ns i ns i nco sco sco sco ss i ns i nco ss i nyxzyxzyxreeeeeeeeeee ( 1 53) 或 ??????????????????????????????si nc o sc o ssi nc o ssi nsi nsi nc o sc o sc o ssi neeeeeeeeeeerzryrx( 1 54) 1 .4 標(biāo)量場的梯度 1 .4 .1 方向?qū)?shù) 為了 描述標(biāo)量場 的標(biāo)量沿著各個(gè)方向的變化率 的 不同，需要引入方向?qū)?shù)的概念，標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。MM l?l 圖 方向?qū)?shù) 如圖 所示，標(biāo)量場 u 在 M 點(diǎn)處沿 l 方向上的方向?qū)?shù) Mul?? 定義為： lMuMululM???????)()39。M 點(diǎn)之間的距離。 標(biāo)量場 u 在點(diǎn) M 處的梯度是一個(gè)矢量，它的 方向 沿場量 u 變化率最大的方向 ， 大小 等于其 最大的變化率 ，并記為 ug r a d , 即： m a xluug r a dl??? e ( 1 61) 式中， le 是場量 u 變化率最大的方向上的單位矢量。根據(jù)梯度的定義，可得到在直角坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式： zuyuxuug ra dzyx????????? eee ( 1 64) 圓柱坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為： zuuuugr adz????????? eee????? ( 1 65) 球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為： ??????????????ururruugr adrs i neee ( 1 66) 在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密頓算符“ ? ”（讀作 De l ），在直角坐標(biāo)系中有： x y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?e e e (1 67) 可見算符“ ? ”具有矢量和微分的雙重性質(zhì)，從而在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量場的梯度又可用算符“ ? ”表示為： uuzyxug ra dzyx??????????? )( eee ( 1 68) 標(biāo)量場的梯度具有如下 性質(zhì) ： （ 1 ）標(biāo)量場 u 的梯度是一個(gè) 矢量場 ； （ 2 ）在標(biāo)量場 )( Mu 中，在給定點(diǎn)沿 任意方向 l 的方向?qū)?shù)等于梯度在 該方向 上的 投影 ； （ 3 ）標(biāo)量場 )( Mu 在給定 M 點(diǎn)的梯度 垂直 于過該點(diǎn)的 等值面 ，且指向 )( Mu 增大 的方向。 1 . 5 矢量場的 通量 和 散度 的概念。假設(shè) S 為一空間曲面 , dS 為曲面 S上的面元，取一個(gè)與此面元相垂直的單位矢量 ne ，則稱矢量 dSd neS ? 為 面元矢量 。如圖 所示： neFdSs ? 圖 矢量場的通量 在矢量場 F 中，任取一個(gè)面元矢量 dS ，矢量 F 與 面元矢量 d S 的 標(biāo)量積 d?FS 定義為矢量 F 穿過 面元矢量 d S的通量。 式 ( ) 表示的通量則是穿出閉曲面 S 的正通量與進(jìn)入閉曲面 S 的負(fù)通量的代數(shù)和，即穿出曲面 S 的凈通量。當(dāng) 0S d??? FS 時(shí)，表示穿出閉合曲面 S 的通量等于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面 S 內(nèi)正通量源和負(fù)通量源的代數(shù)和為 0 ，稱為無源。 矢量場 F 的散度可表示為哈密頓算子與矢量 F 的標(biāo)量積，即有： d i v ? ? ?FF ( 1 78 ) 在直角坐標(biāo)系中 ( ) ( )x y z x x y y z zyx zd iv F F Fx y zFF Fx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ? ?F F e e e e e e (1 79) 在 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 中 分別為