【正文】 ，記為 ， 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a32a例：求 中元素 的余子式和代數(shù)余子式 ijAa? ijaijaijM? 余子式： 在 n 階行列式 中去掉元素 所在的行和列，剩下的 n1 階行列式稱為元素 的余子式。 ? 對標(biāo)量場 》 等值面圖表示： 空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點集合形成的曲面稱等值面，如等溫面等。如等高線等。 等高線作用 1 根據(jù)等高線及其所標(biāo)出的高度，了解該地區(qū)高度 2 根據(jù)等高線的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個方向上地勢的陡度 A點高 300 B點高 300 A點比 B點陡 越密就越陡 AB開復(fù)課件網(wǎng) ? 對矢量場 》 矢量線表示： 用一些有向矢量線來形象表示矢量在空間的分布，稱為矢量線。 ? 特點： 矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量方向相同 ? 矢量線方程（直角坐標(biāo)系）： x y zd x d y d zA A A??開復(fù)課件網(wǎng) 矢量線的作用 1 根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的 方向 2 根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的 大小及變化趨勢 。 解： 點 M的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1， 則該點的數(shù)量場值為 φ=(x0+y0)2z0=0。 2 2 2x y zA x y e x y e z y e? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) ? 第一堂課結(jié)束 開復(fù)課件網(wǎng) ? 矢量線與矢徑的關(guān)系式： A dr= 0 PA ( r )d rrO力線圖 補充內(nèi)容：關(guān)于矢量線 第 1章 矢量分析與場論 矢量場的表達式 : 矢性函數(shù) A=A(P) A=A(x, y, z) 矢量線的表達式： 直角坐標(biāo)系中，矢徑 r的表達式： r=axx+ayy+azz (1) 矢量線與矢徑的關(guān)系式： A dr= 0 (2) 微分方程： 直角坐標(biāo)系 代入 zyx AdzAdyAdx ??A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z) 求解 開復(fù)課件網(wǎng) 167。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) (標(biāo)量 )Directional Derivative 設(shè) M0是標(biāo)量場 φ=φ(M)中的一個已知點 ， 從 M0出發(fā)沿某一方向引一條射線 l, 在 l上 M0的鄰近取一點 M，MM0=ρ， 若當(dāng) M趨于 M0時 (即 ρ趨于零時 ) 0( ) ( )MM??????? ?的極限存在 ， 稱此極限為函數(shù) φ(M) 在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù) ， 記為 000( ) ( )limMMMMMl??????? ??開復(fù)課件網(wǎng) 結(jié)論： 0Ml???)(M? 0M l? 方向?qū)?shù) 是函數(shù) 在點 處沿方向 對距離的變化率 0l?? ??表明 M0處函數(shù) Φ 沿 l 方向增加，反之減小 ? 若函數(shù) φ=φ(x, y, z)在點 M0(x0, y0, z0)處可微， cosα、cosβ、 cosγ為 l方向的方向余弦，則函數(shù) φ在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為 0c o s c o s c o sMl x x z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) 證明： M點的坐標(biāo)為 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函 數(shù) φ在 M0處可微，故 0( ) ( )M M x y zx y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?兩邊除以 ρ，可得 x y zx y z? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?當(dāng) ρ趨于零時對上式取極限，可得 c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c o s c o s c o sx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) 解： l方向的方向余弦為 1 2 2c os c os c os3 3 3? ? ?? ? ?2222 2 ( ),u x u t u x yx z y z z z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?c o s c o s c o su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 2 2 2 2113 3 3 4 3Ml?? ? ? ? ? ? ? ??而 數(shù)量場在 l 方向的方向?qū)?shù)為 點 M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 2221 2 2 2 23 3 3x y x yzz z?? ? ?例 13 求數(shù)量場 在點 M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù) 22xyuz??22x y zl e e e? ? ?開復(fù)課件網(wǎng) 167。 ()M?()M?()M?G()g ra d M?方向： 函數(shù) 在 M點處變化率最大的方向 ()M?||G大?。?最大變化率的矢量的模 開復(fù)課件網(wǎng) 哈米爾頓（ Hamilton）算子 定義： ▽ (讀作 del)是一個 矢性微分算子 （是一個微分符號， 同時又要當(dāng)作矢量看待） 直角坐標(biāo)系中，算子▽的表達式為： e e ex y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?補充： 開復(fù)課件網(wǎng) c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?在直角坐標(biāo)系中，令 x y zG e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?已知： 證明： 標(biāo)量場 在任意方向 l上的方向?qū)?shù)為 ()M?0 c o s c o s c o sx y zl e e e? ? ?? ? ?00c os( , )G l G G ll?? ? ? ??證明沿 方向的方向?qū)?shù) 最大，且 Gm a xGl?? ??l???x y zG e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?已知： 0c o s ( , ) 1Gl ?m a xGl?? ??與 方向一致，且 Gl開復(fù)課件網(wǎng) 00c o s ( , )l G G ll? ?? ? ? ? ??梯度的性質(zhì)： )(M?)(M?》 標(biāo)量場 中每一點 M處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù) 的增大方向。 》 在某點 M處沿任意方向的方向?qū)?shù)等于該點處的梯度在此方向上的投影。( ) [ ( ) ] 39。 開復(fù)課件網(wǎng) 例 14 設(shè)標(biāo)量函數(shù) r是動點 M(x, y, z)的矢量 r=xex+yey+zez的模 ， 即 ， 證明： 222 zyxr ???.??? rrrg r a d r ??證明： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrg r a d rzyx??????????????????????222222???因為 rzzyxzzyxxzrryzyxyzyxyyr??????????????????????222222222222所以 ??????????? rr)(1 ??rzeyexererzeryerxrg r a d rzyxzyx開復(fù)課件網(wǎng) 1 ()x y zgra dr r xe y e zer? ? ? ? ?點 M處的坐標(biāo)為 x=1, y=0, z=1, 且 2 2 2 2r x y z? ? ? ?1122xzg r a d r r e e? ? ? ?r在 M點沿 l方向的方向?qū)?shù)為 0Mr rll? ? ? ??解： r的梯度為 例 15 求 r在 M(1,0,1)處沿 22x y zl e e e? ? ?而 0 1 2 23 3 3x y zll e e el? ? ? ?所以 1 1 0 2 1 2 13332 2 2 2Mrl? ? ? ? ? ? ? ??所以 r在 M點的梯度為 開復(fù)課件網(wǎng) 167。 矢量場的通量（ flux） 一、面元矢量： 面積很小的有向曲面 dSnSd ?? ?方向： 開曲面上的面元 閉合面上的面元 確定繞行 l的方向后， 沿繞行方向按右手 螺旋 — 拇指方向 閉合曲面的 外法線方向 開復(fù)課件網(wǎng) 二、通量（標(biāo)量） A? Sd? 穿過面元 的通量 A? 穿過整個曲面 S的通