【正文】 根據(jù)旋度的計(jì)算公式 e e eE? ? ?? ? ?? ? ?x y zx y zx y zE E E 有 3 3 33 3 3 3 3 3440e e eEe e e????? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ????????x y zx y zqx y zx y zr r rq z y x z y xy r z r z r x r x r y r 說明 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為無旋場(chǎng)。 在直角坐標(biāo)系中： 2222222zuyuxuu?????????? （ 1 106 ） 在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的拉普拉斯運(yùn)算分別 為 ： 2222221)(1zuuuu?????????????????? ( 1 107) 22222222s i n1)( si ns i n1)(1?????? ??????????????ururrurrru (1 108) 矢量場(chǎng)的拉普拉斯算法的定義為： 2( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F F F (1 109) 在直角坐標(biāo)系中，可推導(dǎo)出： 2 2 2 2x x y y z z? ? ? ? ? ? ?F e F e F e F (1 1 10) 其中： 222222 2 2()xxxxxx y z???? ? ? ? ? ?? ? ?FFFFF (1 1 1 1) 222222 2 2()yyyyyx y z???? ? ? ? ? ?? ? ?FFFFF (1 1 12) 222222 2 2()zzzzzx y z???? ? ? ? ? ?? ? ?FFFFF (1 1 13) 1 . 8 亥姆霍茲定理 1. 矢量場(chǎng)的唯一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被 唯一地確定 。 亥姆霍茲定理告訴我們，在分析矢量場(chǎng)時(shí)，需要從研究它的 散度 和 旋度 著手。 根據(jù)斯托克斯定理可得出，無旋場(chǎng) F 沿閉合路徑 C的環(huán)流為 0 ，即 0Cd??? Fl 這一結(jié)論等價(jià)于無旋場(chǎng)的曲線積分QPd?? Fl 與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。 由散度定理可知，無源場(chǎng) F 通過任何閉合曲面 S 的通量等于 零 ，即： 0Sd??? FS (1 1 19) 3 、 有源有旋場(chǎng) 如果在矢量場(chǎng) F 中的散度和旋度都不為零，即： u? ? ???? ? ??FFA 這里 u 和 A 為已知函數(shù)，則該矢量場(chǎng)為 有源有旋場(chǎng) 。 2 、 無源場(chǎng) 如果在矢量場(chǎng) F 中的每一點(diǎn)都滿足： 0? ? ?F 則稱該矢量場(chǎng)沒有通量源，稱為 無源場(chǎng) ，由于無源場(chǎng)的散度處處為零，所以又稱為 無散場(chǎng) 。 1 、 無旋場(chǎng) 如果在矢量場(chǎng) F 中的每一點(diǎn)都滿足： 0? ? ?F 則稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)。 上述唯一性定理表明，區(qū)域 V 中的矢量場(chǎng)被 V 中的源及邊界值 ( 或稱邊界條件 ) 唯一地確定。 梯度描述的是標(biāo)量場(chǎng)的 最大變化率 ，也就是在標(biāo)量場(chǎng)中各點(diǎn)的 最大方向?qū)?shù) ；散度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的 場(chǎng)量 和通量源 的關(guān)系；而旋度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的 場(chǎng)量 與 漩渦源 的關(guān)系。 斯托克斯定理 在矢量場(chǎng) F 所在的空間中，對(duì)于任意一個(gè)以閉合曲線C 所包圍的曲面 S, 有 如下關(guān)系式 成立 ： ()SCdd? ? ? ? ??? F S F l ( 1 104) 它 表明矢量場(chǎng) F 的旋度在曲面上的面積分等于矢量場(chǎng)在限定曲面的閉合曲線的線積分 。其中 d l 是曲線的線元矢量，其大小為 dl ，方向?yàn)檠芈窂?C 的切線方向， ? 是矢量場(chǎng) F 與線元矢量 d l 的夾角，如 下 圖所示。 散度定理 （ 高斯定理 ） 根據(jù)散度的定義，我們知道， d i v ? ? ?FF 是矢量場(chǎng) F 中任意點(diǎn)處單位體積內(nèi)向外散發(fā)出來的通量，將它在某一個(gè)體積上做體積分就是該體積內(nèi)向外散發(fā)出來的通量的總和，而這個(gè)通量顯然和從該限定體積 V 的閉合曲面 S 向外散發(fā)的凈通量是相同的，于是可得到： VSd V d? ? ? ??? F F S ( 1 86) 散度定理表明，矢量場(chǎng) F 的散度在體積 V 上的體積分等于矢量場(chǎng) F 在限定該體積的閉曲面 S 上的面積分， 它告訴我們 矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面的面積分之間 可相互轉(zhuǎn)換。矢量場(chǎng) F 的通量說明了在一個(gè)區(qū)域中場(chǎng)與源的一種關(guān)系，當(dāng) 0S d??? FS 時(shí)，表示穿出曲面 S 的通量多于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面 S 內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源，稱為有正源；當(dāng) 0S d??? FS 時(shí)，表示穿出閉合曲面 S 的通量少于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面 S 內(nèi)必有匯集矢量線的源，稱為有負(fù)源。 單位矢量 ne 的取法有兩種情形：一種是 dS 為 開曲面 上的一個(gè)面元， ne 的 取法要求圍成開曲面的邊界走向與 ne 之間滿足 右手螺旋法則 ；另一種是 dS 為 閉合面 上的一個(gè)面元， ne 一般取 外法線方向 。 梯度運(yùn)算符合以下規(guī)則 ( C 為常數(shù)， u ， v 分別為標(biāo)量場(chǎng)函數(shù) ) ： 0C?? (1 69) uCCu ??? )( (1 70) vuvu ?????? )( (1 71) vuuvuv ????? )( (1 72) 2/)()/( vvuuvvu ????? (1 73) uufuf ???? )()( (1 74) 例 1. 5 ：設(shè)有一點(diǎn)電荷 q 位于球坐標(biāo)系的原點(diǎn)，求該點(diǎn)電荷在球坐標(biāo)中任一點(diǎn) ),( ??rM 處電位的梯度？ 解： 該點(diǎn)電荷在點(diǎn) ),( ??rM 處的電位函數(shù) ),( ??ru 可表示為： rqru04),(???? ?， 式中 q 為點(diǎn)電荷的電量， 0? 為常數(shù)，所以電位函數(shù)只是 r的函數(shù)而與 ? ， ? 無關(guān)，即有： 0????u，0????u， 從而： rrrqruu ee204 ???????? u?q 圖 點(diǎn)電荷電位的梯度 如 上圖 所示， u?? 正是位于球坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q在空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，本例題表明，電場(chǎng)中的 電場(chǎng)強(qiáng)度 等于 電位的負(fù)梯度 ，而且電場(chǎng)強(qiáng)度 垂直 于 等位面 ，指向電位 減少 的方向。 在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可表示為： lzzulyyulxxulu????????????????? ( 1 56) 設(shè) l 方向的方向余弦是 ?co s 、 ?c o s 、 ?c o s ，即： ?co s???lx ( 1 57) ?co s???ly ( 1 58) ?c o s???lz ( 1 59) 則可得到在直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： ??? c o sc o sc o szuyuxulu??????????? (1 60) 1 . 4 . 2 標(biāo)量 函數(shù) 的 梯度 為了描述標(biāo)量場(chǎng)在哪個(gè)方向變化率最大，需要引入標(biāo)量場(chǎng)的 梯度 的概念。 39。 在圓柱坐標(biāo)系中，任意矢量 A 均可用這三個(gè)單位矢量寫成分量形式： zzA A A? ? ? ?? ? ?A e e e ( 1 30) 其中 ?A 、 ?A 和 zA 分別是矢量 A 在 ?e 、 ?e 和 ze 方向上的投影。 xyzzexeye平 面平 面平 面M0zz ?0xx ?0yy ? 圖 直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量分別是 x ， y ， z ，它們的變化范圍分別是： ?????? x， ?????? y ，?