矢量分析與場論ppt課件-在線瀏覽
2025-06-16 02:48本頁面
【正文】 (b) 右手螺旋 矢量積又稱為叉積 (Cross Product)， 如果兩個不為零的矢量的叉積等于零 ， 則這兩個矢量必然相互平行 ， 或者說 ， 兩個相互平行矢量的叉積一定等于零 。 ???????? 圓柱坐標(biāo)系中也有三個相互垂直的坐標(biāo)面。 平面 表示一個以 z為界的半平面。 22xy? ? ?a r c ta n ( )yx??002z???? ? ???? ? ? ? ?? 圓柱坐標(biāo)系中的三個單位矢量為 ,分別指向 增加的方向。（課本 P4） ? 圓柱坐標(biāo)系的位置矢量 ? 圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量與直角坐標(biāo)系的單位矢量之間的關(guān)系： ,?ρ za a a???????z???ρ zr a ac o s s i n? ? ? ?ρ xya a a( sin ) c os? ? ? ? ? ?xya a a? 矩陣形式： c os si nsi n c os00?? ? ??? ? ? ??? ????? ??? ? ??? ?? ? ??? ?????? ?????????????? ?????????? ?????xyzaaa???????????ρzaaa? 三個坐標(biāo)面的面元矢量與體積元： zzd d l d l d d zd d l d l d d zd d l d l d dd V d d d z? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ρ ρ ρz z zS a aS a aS a a： ? 球坐標(biāo)系中，空間任意一點 P可用三個 坐標(biāo)變量（ )來表示。 坐標(biāo)面 =常數(shù)，表示一個以原點為頂點、以 z軸為軸線的圓錐面。 2 2 2r x y z? ? ??a rc ta n ( )yx??0002r????? ? ?????? 球坐標(biāo)系的位置矢量可表示為： ? 球坐標(biāo)系中的三個單位矢量互相正交，遵守右手螺旋法則。直角坐標(biāo)中，可以表示成如下形式： ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z A x y z? ? ?x y zA a a a? 矢量線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。 ? 矢量線方程： ? 直角坐標(biāo)系中，其表達式為： ? 0A dr??x y zd x d y d zA A A??0d??Ar例 12 求矢量場 A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程 。 將曲面的一個面元用矢量 dS來表示 ， 其方向取為面元的法線方向 ， 其大小為 dS， 即 d d s?snn是面元法線方向的單位矢量 。d S相加 ， 它表示矢量場 A穿過整個曲面 S的通量 ， 也稱為矢量 A在曲面 S上的面積分： 如果曲面是一個封閉曲面，則 c o sssd A d S?? ? ? ???ASc o sssd A d S?? ? ? ???AS? 矢量場的散度 zayaxa zyx ??????????哈米爾頓 （ Hamilton） 算子 為了方便 ， 引入一個矢性微分算子： 在直角坐標(biāo)系中稱之為 哈米爾頓算子 ， 是一個微分符號 ， 同時又要當(dāng)作矢量看待 。 在直角坐標(biāo)系中 ， 散度的表達式可以寫為 結(jié)論 ? divA是一標(biāo)量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，即在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。 ? 當(dāng) divA0，表示矢量場 A在該點處有散發(fā)通量的正源，稱為源點； divA0,表示矢量場 A在該點處有吸收通量的負(fù)源，稱為匯點；divA=0，矢量場 A在該點處無源。 ? 高斯散度定理 ? 矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分 . VSd V d? ? ? ???A A S 例 :球面 S上任意點的位置矢量為 r=xax+yay+zaz， 求 解： 根據(jù)散度定理知 而 r的散度為 3????????????zzyyxxr所以 svd S d V? ? ? ? ??? ???rsdS??? r33s v vd d V d V R?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ???rS Α? ? 環(huán)量的定義 設(shè)有矢量場 A， l為場中的一條封閉的有向曲線 ，定義矢量場 A環(huán)繞閉合路徑 l的線 積分為該矢量的環(huán)量 ， 記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣 ， 都是描繪矢量場 A性質(zhì)的重要物理量 ， 同樣都是積分量 。 若環(huán)量不等于 0，則在 L內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場的旋渦源，若環(huán)量等于 0，則在 L內(nèi)沒有旋渦源。 當(dāng)曲面 ΔS在 P點處保持以 n為法矢不變的條件下 ， 以任意方式縮向 P點 ， 取極限 l im lSPdS????? Al 若極限存在，則稱矢量場 A沿 L正向的環(huán)量與 面積
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