[工學(xué)]第一章矢量分析(2)-在線瀏覽
2025-01-24 23:48本頁(yè)面
【正文】 。 矢量的 幾何 表示 ： 一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 注意 ：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶?。?1章 矢量分析 1 第 1章 矢量分析 2 本章內(nèi)容 矢量代數(shù) 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 矢量場(chǎng)的通量與散度 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng) 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 亥姆霍茲定理 第 1章 矢量分析 3 1. 標(biāo)量和矢量 矢量的大小或模 ： AA ??矢量的單位矢量 ： 標(biāo)量 ： 一個(gè)只用大小描述的物理量。 AAeA???矢量的 代數(shù) 表示 ： AeAeA AA ???? ?? 矢量代數(shù) 矢量 ： 一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 A?矢量的幾何表示 常矢量 ： 大小和方向均不變的矢量。 矢量的加減符合交換律和結(jié)合律 2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法 BA ???A?B?矢量的減法 BA ???A?B?B?? 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法： 結(jié)合律 ( ) ( )A B C A B C? ? ? ? ?A B B A? ? ?交換律 第 1章 矢量分析 6 （ 2）標(biāo)量乘矢量 （ 3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積） zzyyxx kAekAekAeAk ???? ???zzyyxx BABABAABBA ????? ?c o s??? ? ? ?A B B A? ? ? —— 矢量的標(biāo)積符合交換律 1?????? zzyyxx eeeeee ??????0?????? xzzyyx eeeeee ??????A?B? ? 矢量 與 的夾角 A? B?? ?A B? ? ?A B? ? 0 BA ??// ? ?A B AB? ?第 1章 矢量分析 7 （ 4）矢量的矢積（叉積） ?s inABeBA n??? ??)()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA ??????? ?????zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA???????ABBA ???? ????? sin AB ? BA ???B?A?矢量 與 的叉積 A? B?用坐標(biāo)分量表示為 寫成行列式形式為 BA ?? ? ABBA ?? ??若 ，則 BA ??//0?? BA ??若 ，則 第 1章 矢量分析 8 （ 5）矢量的混合運(yùn)算 CBCACBA ??????? ?????? )(CBCACBA ??????? ?????? )()()()( BACACBCBA ????????? ????????CBABCACBA ????????? )()()( ??????—— 分配律 —— 分配律 —— 標(biāo)量三重積 —— 矢量三重積 平行六面體的體積可證 第 1章 矢量分析 9 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系 ；三條正交曲線稱為 坐標(biāo)軸 ；描述坐標(biāo)軸的量稱為 坐標(biāo)變量 。 例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。 例如：流速場(chǎng) 、 重力場(chǎng) 、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。 時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 、),( tzyxu ),( tzyxF? 確定空間區(qū)域 上的每一點(diǎn)都有 確定物理量 與之 對(duì)應(yīng) ，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè) 場(chǎng) 。 Czyxu ?),(等值面方程 ： ? 常數(shù) C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； ? 標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間； ? 標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 標(biāo)量場(chǎng)的等值線 (面 ) 第 1章 矢量分析 19 2. 方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)的定義 設(shè) M0為標(biāo)量場(chǎng) u=u(M)中的一點(diǎn) ， 從點(diǎn) M0出發(fā)引出一條射線 l，如下圖所示 。 l特點(diǎn) ：方向?qū)?shù)既與點(diǎn) M0有關(guān)，也與 方向有關(guān) 。 —— 的方向余弦。 ? 標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。 試求： (1) 該函數(shù) ? 在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度 ， 以及表示該梯度方向的單位矢量 。 ooo 60c o s45c o s60c o s zyxl eeee ???? ???第 1章 矢量分析 26 表征其方向的單位矢量 2 2 2( 1 , 1 , 1 )22 22 13 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 1 )x y zl x y zPPe x e y ee e e exy??????? ? ? ? ?? ? ? (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知 ， 沿 el 方向的方向?qū)?shù)為 對(duì)于給定的 P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為 ( 1 , 1 , 1 )1 2 2122 2P xyl?? ?? ? ? ??)212 221()22( zyxzyxl eeeeyexeel ??????? ??????????? ??212 ??? yx第 1章 矢量分析 27 而該點(diǎn)的梯度值為 2 2 2( 1 , 1 , 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy?? ? ? ? ? ? 顯然 ， 梯度 描述了 P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) ? 的最大變化率 ，即最大的方向?qū)?shù) ， 故 恒成立 。 ),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx??矢量線方程 ： 概念： 矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。 nd d dSSF S F e S??? ? ? ? ?? ? ?通量的概念 nddS e S?其中： —— 面積元矢量； ne—— 面積元的法向單位矢量； dSnddF e S? ?? —— 穿過(guò)面積元 的通量。 通量的物理意義 第 1章 矢量分析 31 3. 矢量場(chǎng)的散度 矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，不能反映場(chǎng)域內(nèi)的每一點(diǎn)的通量特性。 散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。則 o x y 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算 z z ? x ? y ? P F???第 1章 矢量分析 34 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為 zFyFxFVSFF zyxSV ?????????????? ?????? dlim0zyxzFzyxyFzyxxFSF zyxS???????????????????? ?? d第 1章 矢量分析 35 4. 散度定理 ?? ???? VS VFSF dd ???體積的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 從散度的定義出發(fā)，
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1