[工學(xué)]第一章矢量分析(2)(參考版)
2024-12-10 23:48本頁面
【正文】 所以 ? 是一個不變的常數(shù)，為了求出它的值，令 CBA ??? ,在直角坐標系中的表達式為 jCiBiA ?????? ??? ,則 )(()(()( iijijijii ????????? ?????? ??求得 1?? ，所以可證。 設(shè) ,CBE ??? ?? ?? 其中 ??,為待定實數(shù)，為確定 E? 的表達式， 只要確定出 ??, 的值即可。 CDBD ???? ??有 EDACBA ?????? ????? )(得知 。所以可證。 第 1章 矢量分析 65 若一個矢量 A同時垂直于三個不共面矢量 A1,A2,A3, 則 A必為零矢量。 若該有限區(qū)域是無源的，則場僅決定于邊界條件。 第 1章 矢量分析 58 證明 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?A A A? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?A A A亥姆霍茲定理 (續(xù)） 第 1章 矢量分析 59 第 1章 矢量分析 60 第 1章 矢量分析 61 矢量場唯一性定理 第 1章 矢量分析 62 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?A A A第 1章 矢量分析 63 式（ 0－ 10－ 9）及式（ 0－ 10－ 12）中的面積分分別代表了邊界上場量的法向分量與切向分量。 ?? ???????? SV SV 22 d)(d)( ??????????? ????????? SV SnnV 22 d)(d)( ????????第 1章 矢量分析 56 亥姆霍茲定理 : 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 )()()( rArurF ????? ??????式中： Vrr rFruV??? ??? ?? ? d)(π4 1)( ?????? ??? ??? ?? V Vrr rFrA d)(π4 1)( ?????? 亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū) 域，矢量場可由其散度及旋度確定。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。因此 ， 利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴} 。 n???ne?第 1章 矢量分析 55 基于上式還可獲得下列兩式： 上兩式稱為 標量第二格林定理 。 )()( QuPududllulduldFQPQPQPQP????????????????????第 1章 矢量分析 49 無旋場 可以用標量場的梯度來表示 例如：靜電場 ???? 0E? ????E?CldFPu QP ??? ? ??)(常數(shù) C的值取決于固定點 Q的選擇 ClduPu QP ????? ? ?)(選 Q為不動的固定點，上式可看做是 P的函數(shù)，即 第 1章 矢量分析 50 （ 2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場 ，即 性質(zhì) ： 0d ???S SF ??0??? F?無散場可以表示為另一個矢量場的旋度 例如，恒定磁場 AB ?? ??????? 0B?AF ?? ???0)( ???????? AF ??第 1章 矢量分析 51 （ 3） 無旋、無散場 （源在所討論的區(qū)域之外） 0F? ? ?（ 4）有散、有旋場 這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r? ? ? ? ? ? ? ?無旋場部分 無散場部分 ( ) 0u? ? ? ? ?Fu? ??02 ?? u0F? ? ?第 1章 矢量分析 52 拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算 ? 標量拉普拉斯運算 2u?概念 ： 2?—— 拉普拉斯算符 22222 2 2uuuux y z???? ? ? ?? ? ?直角坐標系 計算公式 ： 2222 2 211() u u uuz?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222 2 2 2 21 1 1( ) ( s i n )s i n s i nu u uurr r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?圓柱坐標系 球坐標系 uu 2)( ?????第 1章 矢量分析 53 ? 矢量拉普拉斯運算 2F?概念 ： 2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F? ? ? ? ? ? ?即 22() iiFF? ? ?注意 ： 對于非直角分量， 22() iiFF? ? ?直角坐標系中： 如： 22()FF??? ? ?( , , )i x y z?)()(2 FFF ??? ??????????第 1章 矢量分析 54 2. 格林定理 設(shè)任意兩個標量場 ? 及 ?，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標量場 ? 及 ? 滿足下列等式： ?? ???????? SV SnV 2 dd)( ??????根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成 以上兩式稱為 標量第一格林定理 。 第 1章 矢量分析 48 2. 矢量場按源的分類 （ 1）無旋場 0d ???C lF ??根據(jù)斯托克斯定理 ，線積分與路徑無關(guān)。 rotxFo y ?z ?y C M z x 1 2 3 4 計算 的示意圖 rotxF? 直角坐標系中 、 、 的表達式 rotxF rotyF rotzF????? ???? ????????? 41321 ddddd llllC lFlFlFlFlF ??????????)Δ()Δ(ΔΔ 4321 zFyFzFyF zyzy ??????2Δ)(2yyFMFFMzzz ????2Δ)(3zzFMFFMyyy ????21ΔzzF( M )FFMyyy ????2Δ)(4yyFMFFMzzz ????第 1章 矢量分析 43 于是 同理可得 故得 zyzFyFlF yzC?????????? )(d ??zFyFSlFF yzCSx ????????? ?????? dlimr o t0xFzFF zxy ???????r o tyFxFF xyz ???????r o t旋度的計算式： FeFeFeF zyx ??????? zyx r o tr o tr o tr o t ???第 1章 矢量分析 44 旋度的有關(guān)公式 ： 矢量場的旋度 的散度恒為零 標量場的梯度 的旋度恒為零 FfFfFf ??? ???????? )(CfCf ?? ????? )(0?
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