【正文】 第一章習(xí)題 。A A=Aρ eρ+Aφeφ+Az ez 柱： ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z = (—— eρ + —— e? + —— ez ) ∵ C為任意常數(shù)； 等位線 (面 )互不相交； ∵ M點(diǎn)只與一個(gè)坐標(biāo)值對(duì)應(yīng) 同一等位線 (面 )可能分裂成幾部分存在；例： u(x,y,) = x y=C 等位線 (面 )是一閉合線(面 )，只要 ?域足夠大； dl ∵ dl∥ A ∴ dl A=0 ○ 例 ： 求矢量場(chǎng) A=y ex x ey 過(guò)點(diǎn) (1,0,0)的矢量線方程。A A=Aρ eρ+Aφeφ+Az ez 柱： ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z = (—— eρ + —— e? + —— ez ) ▽ u = div grad u 矢性 : ▽ 2 A =▽ (▽ u 、 ▽ A、 ▽ u ▽ —— 哈密爾頓算符，是一 矢性 的一階 微分 算符 ▽ 討論： ③ 調(diào)和場(chǎng) 微分算子 ? ? ? ?x ?y ?z 直： ▽ = (—— ex+ —— ey + —— ez ) ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z 柱：▽ = (—— eρ + —— e? + —— ez ) ? ? ? ?r r?θ rsinθ?φ 球：▽ = (—— er + —— eθ + ———— e? ) 有以下三種形式 ： ▽ u =grad u ▽ F =0， F為 純旋度場(chǎng) 若： F 存在， 則 ▽ F=0 說(shuō)明 F中沒(méi)有 旋度場(chǎng)但必有梯度場(chǎng) 若 ▽ F ≠0 說(shuō)明 F中有 旋度場(chǎng)但不一定有梯度場(chǎng) =0 ≠0 ∵ ▽ ▽ u ≡ 0 則： ▽ F = ▽▽ A 對(duì)式⑴兩邊求 旋 度： ▽ F = ▽ ▽ u + ▽▽ A =0 ≠0 亥姆霍茲定理在電磁場(chǎng)理論中的意義 是研究電磁場(chǎng)的一條主線 矢量 F的通量源密度 矢量 F的旋度源密度 場(chǎng)域邊界條件 一般場(chǎng) 電磁場(chǎng) 電荷密度 ?：產(chǎn)生梯度場(chǎng) 電流密度 J：產(chǎn)生旋度場(chǎng) 場(chǎng)域邊界條件 若矢量場(chǎng) A 在某區(qū)域 ?內(nèi)，處處有： ▽ F ≠0 說(shuō)明 F中有 梯度場(chǎng)但不一定有旋度場(chǎng) 結(jié) 論 ▽ F =0 ， F為 純梯度場(chǎng) ▽ ▽ A 若： F 存在， 則 ▽ F = ▽ F = ▽ ds = 0 s ▽ Fl = J ∵ 矢量場(chǎng) (F) = 梯度場(chǎng) (Fs) + 旋度場(chǎng) (Fl) = ▽ u + ▽ A ⑴ ∵ ▽ Fs = ρv ? =∫Fldl = 0 l Φ =∫Fs▽ A ≡ 0 即：梯無(wú)旋，旋無(wú)散 ∴ ▽ dS = s l ∵ 當(dāng) ρ = 0或 ≠0時(shí) ： 亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的散度 、 旋度 和 邊界條件 （即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。dS s ∴ ▽ H = I δ(x)δ(y)ez ∫H(▽ A)－ A ▽ (uA)= u▽ A－ A ▽ u ▽ B)=▽ A177。 ▽ C = 0。dS s l 矢量場(chǎng)的旋度值表征空間中旋渦源的密度； 即： ▽ A = J J —— 旋渦源密度 該式說(shuō)明旋度場(chǎng)是一無(wú)源場(chǎng)，但不能說(shuō)明旋度場(chǎng)是否存在。 斯托克斯定理 : 這表明： ∫A ▽ 此時(shí)， ?=0 即 A的環(huán)路 積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)故又稱(chēng)保守場(chǎng)。 en 這表明： 旋度 R在任一方向 en上的投影 (即分量 )等于該方向的 環(huán)量面密度 矢量場(chǎng) A 的環(huán)路積分等于該矢量場(chǎng) A 的旋度通過(guò)該曲面的通量 若 rot A =0 處處成立， A為 無(wú)旋場(chǎng)。 環(huán)量面密度 若要達(dá)到最大，則 必須沿 eB方向變化，即 en = eB max lim ⊿ SR→ 0 (l→M 0) ——— = B ∫Aen = Ben ⊿ S ⊿ S ⊿ S M0 上式兩端同除以 ⊿ S并且 取極限 ： M0 ∫AdS=∫ B 由此定義式可導(dǎo)出更具實(shí)用意義的表達(dá)式 en M0 旋度 表達(dá)式 設(shè) : A=Axex +Ay ey +Az ez =Aρ eρ+Aφeφ+Az ez=Ar er+Aφeφ+Aθeθ = ▽ A ?Az ?Ay ?Ax ?Az ?Ay ?Ax ?y ?z ?z ?x ?x ?y = (—— —— ) ex + (—— —— ) ey + (—— —— ) ez 直： rotA = R = — — — ex ey ez ? ? ? ?x ?y ?z Ax Ay Az 柱： rotA = R = — — — = ▽ A eρ ρe? ez ? ? ? ?ρ ?φ ?z Aρ ρAφ Az 球： rotA = R = — — — = ▽ A er reθ rsinθe? ? ? ? ?r ?θ ? φ Ar rAθ rsinθ Aφ 1 — ρ 1 —— r2sinθ 推導(dǎo)， 以直坐標(biāo)為例： 設(shè) : A=Axex +Ay ey +Az ez 由斯托克斯公式： ?Az ?Ay ?Ax ?Az ?Ay ?Ax ?y ?z ?z ?x ?x ?y (—— —— )dydz + (—— —— )dxdz + (—— —— )dxdy ? =∫ ⊿ S ∫Adl ⊿ SR 即 : lim ⊿ SR→ 0 (l→M 0) 旋度 顯然，在場(chǎng)矢量 A空間中，圍繞空間 某點(diǎn) M0可取很多個(gè) 邊界曲線為 l、 面元為 ?S、 法線方向各異 (如圖 )的平面。 rotn A= ———— 即： 環(huán)量面密度 意義 :表示矢量場(chǎng) A 在點(diǎn) M0 處沿 en方向的漩渦 源 密度 旋度 旋度 :是一矢量 ,反映矢量場(chǎng) A在場(chǎng)某點(diǎn)處環(huán)量對(duì)面積的最大變化率 旋度 環(huán)量 環(huán)量面密度 輔助量 定義 若在矢量場(chǎng) A(M)中 某一點(diǎn) M0 處，存在這樣的一個(gè)矢量 R，矢 量場(chǎng) A(M)由點(diǎn) M0處 沿 R方向所得的 環(huán)量對(duì)面積的變化率 (即環(huán) 量面密度 )達(dá)最大且正好等于模 R， 則 稱(chēng)矢量 R為 矢量場(chǎng) A(M) 在點(diǎn) M0處的旋度，用符號(hào) rot A表示。dl ?S lim ⊿ S→ 0 (l →M 0) 在場(chǎng)矢量 A空間中，圍繞空間某點(diǎn) M0取一面元 ?S，其邊界曲線為 l ，面元法線方向?yàn)?en 。即： ∫A而環(huán)量正 反 映了矢量場(chǎng)漩渦 源 的分布情況。EdV Ω =∮ —— r2sinθdφdθ=q/e q 4?er2 ∴ ▽ E = —— + —— = 0 q 2?er3 q 2?er3 r ≠ 0 當(dāng) r = 0或 ≠0時(shí) ： ? =∫E▽ u 例：已知 求： ▽ (u A)= u▽ B。A 177。(A177。C = 0。A。A＜ 0 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源 (div A =0 無(wú)源 ） (div A ＞ 0正源 ) (div A ＜ 0負(fù) 源 ) Ω 公 式 散度 ▽ A＞ 0 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源 c) 若 Φ = 0則 ▽ AdV s Ω 該公式表明了區(qū)域 Ω中場(chǎng) A 與邊界 S上的場(chǎng) A 之間的關(guān)系 矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度； ▽ ds ∵ ? = ∫ = Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy 由奧氏公式： ?Ax ?Ay ?Az ?x ?y ?z (—— + —— + ——) dV =∫ ?Ax ?Ay ?Az ?x ?y ?z = (—— + —— + ——) V M0 由中值定理： —— = (—— + —— + ——) 上式兩端同除以 V： ? ?Ax ?Ay ?Az V ?x ?y ?z M0 對(duì)上式取極限： ? ?Ax ?Ay ?Az V ?x ?y ?z —— = (—— + —— + ——) = divA(M0) M0 lim v→ 0 (Ω→M 0) 常數(shù) ∵ M0為任意確定點(diǎn)故可不表現(xiàn)出來(lái)，即： divA(M0) → div A ?Ax ?Ay ?Az ?x ?y ?z ∴ divA = —— + —— + —— 證畢 dS=dydzex + dxdzey+dxdyez 矢量場(chǎng) A的散度是一個(gè)標(biāo)量； 性質(zhì) 共有 4條 散度 散度定理 (矢量場(chǎng)的高斯定理 )： ?=∫AA =▽ ds V 即 : lim v→ 0 (Ω→M 0) =▽ 則此 通量 ? 在 M0點(diǎn) 對(duì)體積 V 的變化率稱(chēng)矢量 A(M) 在點(diǎn) M0處的散度， 用符號(hào) divA表示。ds ? =∫A ※ ?反映了矢量場(chǎng)通量 源 的分布情況。 散度 :是一標(biāo)量，研究矢量場(chǎng) A在某點(diǎn)處其通量對(duì)體積的變化率。 ?矢量線上任一點(diǎn)的切向就是矢量 A在 該點(diǎn)的 方向 ； ?矢量 A的大小正比于過(guò) M0點(diǎn)且與力線正交的單位面 積上的矢量線的根數(shù)。 ( en ) =G ( en ) Mo Mo 令： u=0 可見(jiàn)其等位線與題中的曲線相同，這意味著 eG = 177。 v▽ u ▽ (u/v)= (v▽ u－ u▽ v)/v2 ▽ f (u)= f ′(u) ▽ u 又 ∵ ?u 2x √2 ?x a2