【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 — + —— B ?C ?u1 —— = 0； ?(A+B) ?u1 ?B ?u1 ?A ?u1 ——— = —— +—— 若： u1 = u1 (t), ?A ?t 則 : —— = —— —— ?A ?u1 du1 dt ——— = ——— ?A2 ?u1?u2 ?A2 ?u2?u1 ⑤ ① ② ③ ④ ⑦ ⑥ 由式⑤①可將矢量 A 的 偏導(dǎo)數(shù)用分量形式表示 ?A ?u1 ?A1 ?u1 ?A3 ?u1 —— = eu1—— +eu2—— +eu3—— +A1—— +A2— A3 —— ?A2 ?u1 ?eu1 ?u1 ?eu2 ?u1 ?eu3 ?u1 矢量微分 設(shè)： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3 對(duì)坐標(biāo)單位矢量的偏導(dǎo) —— = 0； ? ?t e 時(shí)間： 空間 球： ?(er,eθ ,e? ) ?r ————— = 0； 柱： ?(eρ ,e? , ez ) ?(z,ρ,r,θ) ————— = 0； 直： ?(ex , ey , ez ) ?(x,y,z,ρ,r,φ,θ) —————— = 0； ?eρ ?φ —— = e? ?e? ?φ —— = eρ …… ?eρ ?φ —— = e? 證： 將式⑴代入原式： ∵ eρ = excosφ + eysin φ e? = exsinφ + eycos φ ⑴ ⑵ ?eρ ?φ —— = —— (excosφ + eysin φ) = exsinφ + eycos φ= e? ? ?φ 與式⑵ 相比，原式得證 運(yùn)算 對(duì)時(shí)間的微分 對(duì)空間的微分 對(duì)坐標(biāo)單位矢量的偏導(dǎo) 對(duì)矢量函數(shù)的偏導(dǎo) 設(shè)： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3 以上結(jié)果顯示 矢量函數(shù)的偏導(dǎo)可轉(zhuǎn)化為標(biāo)量函數(shù)的偏導(dǎo) ?A ?t ?A1 ?t ?A3 ?t —— = eu1—— + eu2—— + eu3—— ?A2 ?t 直： ?A ?Ax ?Ay ?Az ?x ?x ?x ?x —— = —— ex+ —— ey + —— ez ； …… 時(shí)間： 空間 柱： ?A ?Aρ ?Aφ ?Az ?ρ ?ρ ?ρ ?ρ —— = —— eρ + —— e? + —— ez 對(duì)矢量函數(shù)的偏導(dǎo) ?A ?Aρ ?Aφ ?Az ?φ ?φ ?φ ?φ —— = —— eρ + Aρe? + —— e? Aφeρ + —— ez ?A ?Ar ?Aθ ?Aφ ?θ ?θ ?θ ?θ —— = —— er + Are? + —— eθ Aθer + —— e? 球： ?A ?Ar ?Aθ ?Aφ ?r ?r ?r ?r —— = —— er + —— eθ + —— e? = Axex + Ay ey + Az ez = Ar er + Aφeφ + Aθeθ ?A ?u1 ?A1 ?u1 ?A3 ?u1 —— = eu1—— +eu2—— +eu3—— +A1—— +A2— A3 —— ?A2 ?u1 ?eu1 ?u1 ?eu2 ?u1 ?eu3 ?u1 = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez 三度、二式、一定理 以上主要對(duì)矢量的初等運(yùn)算、微分和積分進(jìn)行了討論 下面將對(duì)數(shù)學(xué)場(chǎng)論作介紹 三度： 梯度、散度、旋度 二式： 格林恒等式 一定理： 亥姆霍茲定理 定義 表達(dá)式 輔助量 性質(zhì) 公式 三度、二式、一定理 梯度 :是一矢量，研究數(shù)量場(chǎng) u沿某路徑變化率可達(dá)最大的問題。 ∵ 由數(shù)量場(chǎng) u 的某點(diǎn)可延伸出許多條直線路徑 l ,而這每一個(gè) l 又 分別是每一族曲線在該點(diǎn)的切線 (如圖示 ) 。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知， 數(shù)量場(chǎng) u 沿曲線只要是同一族曲線包括切線 l 在內(nèi)其變化率是相 同的。 因而可將研究數(shù)量場(chǎng) u 沿曲線變化的問題轉(zhuǎn)化為沿直線變 化的問題。 顯然只有沿著不同的直線路徑 l 其變化率才不同，但 只有沿其中的一條路徑 l 變化其變化率可達(dá)最大。 du dlG最大 G = grad u = —— eG 定義 在某數(shù)量場(chǎng) u 中 某一點(diǎn) M0 處，存在這樣的一個(gè)矢量 G，函數(shù) u 在點(diǎn) M0 沿 G的方向發(fā)生變化，其變化率最大且模 G正好等于變化率， 即定義式： 我們稱矢量 G為 u 在點(diǎn) M0處的梯度，用符號(hào)grad u 表示。 由該定義可得如下關(guān)系： 由此定義式可導(dǎo)出更具實(shí)用意義的表達(dá)式 M0 — u— l l G lG ?u ?u ?u ?x ?y ?z 直： gradu = —— ex+ —— ey + —— ez ?u ?u ?u ?ρ ρ?φ ?z 柱： gradu = —— eρ + —— e? + —— ez ?u ?u ?u ?r r?θ rsinθ?φ 球： gradu = —— er + —— eθ + ———— e? 表達(dá)式 ? ? ? ?x ?y ?z = (—— ex+ —— ey + —— ez )u =▽ u ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z = (—— eρ + —— e? + —— ez )u =▽ u ? ? ? ?r r?θ rsinθ?φ = (—— er + —— eθ + ———— e? )u =▽ u ▽ —— 哈密爾頓算符，是一矢性的微分算符 有了上面的表達(dá)式，梯度的計(jì)算就很容易進(jìn)行 梯度 ?u ?u ?u ?x ?y ?z du = —— dx+ —— dy + —— dz 對(duì) u 求全微分，則有： 對(duì)上式兩邊同時(shí)除以 dl ， 及又 ∵ dl /dl = el , 則有 : = (—— ex+ —— ey + —— ez )dl ?u ?u ?u ?x ?y ?z 又 ∵ dl = dxex+dyey+dzez ： —— = (—— ex+ —— ey + —— ez ) el du ?u ?u ?u dl ?x ?y ?z 推導(dǎo)， 以直坐標(biāo)為例： 為運(yùn)算方便，令： 則有 :du/dl=A el —— ex+ —— ey + —— ez=A ?u ?u ?u ?x ?y ?z A是一微分矢量。當(dāng) u給定后 ,A在某點(diǎn)的大小和方向是確定不變的 el是某 路徑方向與 u無(wú)關(guān)。 u可沿不同的路徑 l 變化，即 el可變。 du/dl 若要達(dá)到最大，則 u必須沿 eA方向變化，即 el = eA 因而 du/dl=A el =A eA el 應(yīng)改為： du/dlA最大 =A eA eA =A 這就是說，當(dāng) u沿 A方向變化時(shí)，其變化率達(dá)最大且正好 = A的模 或?qū)ι鲜絻蛇呁艘?eA ： du/dlA最大 eA =A eA =A 將此與定義相比可知， A就是梯度即： G= A 證畢 若對(duì) u 分別求柱、球坐標(biāo)下的全微分 ， 就可導(dǎo)出相應(yīng)的表達(dá)式。 輔助量 方向?qū)?shù) 數(shù)量場(chǎng) u沿某路徑 l 的變化率 稱方向?qū)?shù) ，記作 du/dl 性質(zhì) 共有 6條 標(biāo)量場(chǎng) u的梯度是矢量。 簡(jiǎn)化了全微分的表達(dá)式： du =Gdl 方向?qū)?shù)是梯度在該 ln 方向上的一個(gè)分量的模。 ∵ 由前面的推導(dǎo)中已知： du/dl=G el li l2 l1 G du/dl G方向總是指向 u增大的方向，即 u2 ＞ u1 (在 G方向上 ) 證 :∵ lG du dlG最大 G = —— eG = G eG l1 l2 u1 u2 lG du dlG 即： —— = G ＞ 0 又 ∵ 各 ln的方向包括 lG 方向在內(nèi) 均以 M0為起點(diǎn)向外， 即 各 ln上的 l2總是 ＞ l1 這就是說，若 dl = l2 l1 則 dl ＞ 0 M0 du u2 u1 dlG l2 l1 因而 ： —— = —— ＞ 0 ∴ u2 u1 ＞ 0 證畢 梯度 G方向?yàn)榈任痪€ (或面 )的法向，即 eG = 177。 en 0u? ? ? ?等值面： 指在三維數(shù)量場(chǎng) u(x,y,z)中， 將空間不同位置上但具有相等 場(chǎng)值的各點(diǎn)所連成的面。其表達(dá)式為： u(x,y,z) = C 證 :∵ u(x,y,z) = C ∴ du = 0 因而： du/dl=G el =Gcos(eG ,el )= 0 又 ∵ G≠0 ∴ cos(eG ,el ) = 0 故： eG ⊥ el 又 ∵ el 為等位線 (或面 )的切線 ∴ eG = 177。 en 證畢 等值線： 指在二維數(shù)量場(chǎng) u(x,y,)中， 將空間不同位置上但具有相等 場(chǎng)值的各點(diǎn)所連成的線。其表達(dá)式為： u(x,y,) = C 性質(zhì) 梯度 eG el ① ▽ u = 0或 ≠0該式都成立，即該式不能說明 梯度場(chǎng)是否存在。 該式說明 ： ②梯度場(chǎng)若存在必是無(wú)旋場(chǎng)。 en 公式 梯度 例：求 u=1[(x/a)2+(y/b)2]在點(diǎn) Mo(a/√2 ,b/√2 )處 沿曲線 1=(x/a)2+(y/b)2的內(nèi)法線的方向?qū)?shù)。 ▽ Cu =C▽ u ▽ C = 0