【導(dǎo)讀】=C；是一Z軸為軸心半徑為C的柱面。=C；是一過Z軸的半平面（子午面）。=C；O為頂點Z為中心軸C為半頂角。單位矢量eA:模(大小)為1,以矢量A的方向為方向的矢量。矢徑是一特殊的矢量，具有明確的定義和表達(dá)式，表示的是空間位置，沒有物理含義。若將電荷q置于坐標(biāo)點s′處,求電位Φ的表達(dá)式?！咦鴺?biāo)系是一鋼架，∴當(dāng)某一軸替代另一軸時，其它軸也應(yīng)相應(yīng)變換。

　　

【正文】 l l ?Az ?Ay ?Ax ?Az ?Ay ?Ax ?y ?z ?z ?x ?x ?y 令： B = (—— —— ) ex + (—— —— ) ey + (—— —— ) ez 又 ∵ dS=dydzex + dxdzey+dxdyez ； 及中值定理， ∴ ? =∫ BdS=∫ Ben dS = Ben ⊿ S ⊿ S ⊿ S M0 上式兩端同除以 ⊿ S并且 取極限 ： M0 ∫Adl ⊿ S lim ⊿ SR→ 0 (l→M 0) ——— = Ben = Ben ∵ M0為任意確定點 故 可不表現(xiàn)出來。 環(huán)量面密度 若要達(dá)到最大，則 必須沿 eB方向變化，即 en = eB max lim ⊿ SR→ 0 (l→M 0) ——— = B ∫Adl ⊿ SB 兩端同乘 eB： 且與定義比較： eB eB 可得： B=R=▽ A= rotA 旋度 矢量場 A的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 旋度 性質(zhì) 共有 6條 ∵ 由前面的推導(dǎo)已知： rotn A = rot A en 這表明： 旋度 R在任一方向 en上的投影 (即分量 )等于該方向的 環(huán)量面密度 矢量場 A 的環(huán)路積分等于該矢量場 A 的旋度通過該曲面的通量 若 rot A =0 處處成立， A為 無旋場。 力線呈無旋渦的流動狀態(tài)，力線有頭尾。此時， ?=0 即 A的環(huán)路 積分與路經(jīng)無關(guān)故又稱保守場。 若 rot A ≠0這表： A為 有旋場 ，其力線無頭無尾。 ▽ ▽ A ≡ 0 即 ▽ A =0或 ≠0 該式均成立。 斯托克斯定理 : 這表明： ∫Adl =∫▽ AdS s l 矢量場的旋度值表征空間中旋渦源的密度； 即： ▽ A = J J —— 旋渦源密度 該式說明旋度場是一無源場，但不能說明旋度場是否存在。 公 式 ▽ (CA )=C▽ A。 ▽ C = 0。 ▽ (A177。 B)=▽ A177。 ▽ B。 ▽ (uA)= u▽ A－ A ▽ u ▽ (A B)=B(▽ A)－ A(▽ B) 旋度 例：已知 求： ▽ H H= —— eφ = Hφ eφ I 2?ρ I ▽ H = — — — = 0 eρ ρe? ez ? ? ? ?ρ ?φ ?z 0 ρHφ 0 1 — ρ 解： 選擇柱坐標(biāo) ρ ≠ 0 = I =∫I δ(x)δ(y)ez dS s ∴ ▽ H = I δ(x)δ(y)ez ∫Hdl ∫▽ HdS = s l ∵ 當(dāng) ρ = 0或 ≠0時 ： 亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度 、 旋度 和 邊界條件 （即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。它可表現(xiàn)為： 矢量場 (F) = 梯度場 (Fs) + 旋度場 (Fl) = ▽ u + ▽ A 梯度場是一 有 源 無 旋場： Fs的力線是有頭有尾的發(fā)散線 旋度場是一 無 源 有 旋場： Fl的力線是無頭無尾的閉合線 u —— 梯度場的標(biāo)量 位 A —— 旋度場的矢量位 ∵ ▽ ▽ u ≡ 0 ， ▽ ▽ A ≡ 0 即：梯無旋，旋無散 ∴ ▽ ▽ u ≠ 0 ， ▽ ▽ A ≠ 0 這說明： 討論：① 場、源、度的關(guān)系 ? =∫Fsdl = 0 l Φ =∫Fsds = Q s ▽ Fs = ρv ? =∫Fldl = i l Φ =∫Flds = 0 s ▽ Fl = J ∵ 矢量場 (F) = 梯度場 (Fs) + 旋度場 (Fl) = ▽ u + ▽ A ⑴ ∵ ▽ ▽ A ≡ 0 則： ▽ F = ▽ ▽ u 討論：② 怎樣判斷場 F的屬性 對式⑴兩邊求散度： ▽ F = ▽ ▽ u + ▽ ▽ A 若： F 存在， 則 ▽ F =0 說明 F中沒有 梯度場但必有旋度場 若 ▽ F ≠0 說明 F中有 梯度場但不一定有旋度場 結(jié) 論 ▽ F =0 ， F為 純梯度場 ▽ F ≠0，▽ F ≠0， F為 合成場 ▽ F =0， F為 純旋度場 若： F 存在， 則 ▽ F=0 說明 F中沒有 旋度場但必有梯度場 若 ▽ F ≠0 說明 F中有 旋度場但不一定有梯度場 =0 ≠0 ∵ ▽ ▽ u ≡ 0 則： ▽ F = ▽▽ A 對式⑴兩邊求 旋 度： ▽ F = ▽ ▽ u + ▽▽ A =0 ≠0 亥姆霍茲定理在電磁場理論中的意義 是研究電磁場的一條主線 矢量 F的通量源密度 矢量 F的旋度源密度 場域邊界條件 一般場 電磁場 電荷密度 ?：產(chǎn)生梯度場 電流密度 J：產(chǎn)生旋度場 場域邊界條件 若矢量場 A 在某區(qū)域 ?內(nèi)，處處有： ▽ A ≡ 0 和▽ A ≡ 0 則在該區(qū)域 ?內(nèi)，場 A為調(diào)和場 例：摳出源點的靜電場 注意：不存在在 整個 空間內(nèi)散度和旋度 處處 均為零的矢量場。 討論： ③ 調(diào)和場 微分算子 ? ? ? ?x ?y ?z 直： ▽ = (—— ex+ —— ey + —— ez ) ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z 柱：▽ = (—— eρ + —— e? + —— ez ) ? ? ? ?r r?θ rsinθ?φ 球：▽ = (—— er + —— eθ + ———— e? ) 有以下三種形式 ： ▽ u =grad u ▽ A =div A ▽ A = rot A 其它形式 (如下 )無意義： ▽ u 、 ▽ A、 ▽ u ▽ —— 哈密爾頓算符，是一 矢性 的一階 微分 算符 ▽ ▽ =▽ 2—— 拉普拉辛算符，是一標(biāo)性的二階微分算符 注意 ▽與各 符號的對應(yīng) , 不要盲目替代 形 式 標(biāo)性 : ▽ 2 u =▽ ▽ u = div grad u 矢性 : ▽ 2 A =▽ (▽ A ) ▽ (▽ A) = grad div A rot rotA ?2 ?2 ?2 ?x2 ?y2 ?z2 直： ▽2 = —— + —— + —— ?2 ?2 ?2 ? ?ρ2 ρ2?φ2 ?z2 ρ?ρ 柱：▽ 2 = (—— + —— + —— + —— ) ?2 ?2 ?2 2 ? ctgθ ? ?r2 r2?θ2 r2sin2θ?φ2 r ?r r2 ?θ 球：▽2 = —— + —— + ————— + — —— + —— —— ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z ▽ = (—— eρ + —— e? + —— ez ) ▽ A A=Aρ eρ+Aφeφ+Az ez 柱： ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z = (—— eρ + —— e? + —— ez ) (Aρ eρ+Aφeφ+Az ez ) 場的圖示法 (一種輔助分析、計算的方法 ) 矢量線不是一條而是一族； 矢量線互不相交 (除奇異點 ) 有源場的矢量線至少有一部分是有頭有尾的發(fā)散線； 無源場的矢量線全部都是無頭無尾的閉合線； 等位線 (面 ) 矢量線 形式 表達(dá)式 性質(zhì) 關(guān)系 標(biāo)量場 ( u) 矢量場 (A) u(x,y,z) = C dx dy dz Ax Ay Az —— = —— = —— 若 A = grad u 則 A 線與等位線 (面 )正交 等位線 (面 )不是一個而是一族。 ∵ C為任意常數(shù)； 等位線 (面 )互不相交； ∵ M點只與一個坐標(biāo)值對應(yīng) 同一等位線 (面 )可能分裂成幾部分存在；例： u(x,y,) = x y=C 等位線 (面 )是一閉合線(面 )，只要 ?域足夠大； dl ∵ dl∥ A ∴ dl A=0 ○ 例 ： 求矢量場 A=y ex x ey 過點 (1,0,0)的矢量線方程。 解： ∵ dx dy Ax Ay —— = —— → A ydx = Ax dy 由題意 → xdx = y dy 取積分 ： ∫ xdx = ∫ y dy x y 1 0 x y 1 0 x2/2 = y2/2整理得 ： x2/2 +y2/2 = 1/2 → x2 +y2 = 1 由題意 ： Az = 0 → dz = 0 → z = 0 dx dy dz Ax Ay Az —— = —— = —— 則 有： 故 矢量線方程 ： x2 +y2 = 1 ， z = 0 0 ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z ▽ = (—— eρ + —— e? + —— ez ) ▽ A A=Aρ eρ+Aφeφ+Az ez 柱： ? ? ? ?ρ ρ?φ ?z = (—— eρ + —— e? + —— ez ) (Aρ eρ+Aφeφ+Az ez ) ?(Aρ eρ ) ?(Aφeφ ) ? ?ρ ρ?φ ?z = (—— eρ + —— e? + —— ez ) 第一章習(xí)題