第一章函數(shù)與極限(編輯修改稿)
2025-08-16 13:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (7) 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 : 定理 1 ), ( ) ( ) ( lim 0 x A x f A x f x x a ? ? ? ? ? 其中 ) ( x a 是當(dāng) 0 x x ? 時的無窮小 . .)0()0()(lim: 000AxfxfAxfxx ???????定理(6) 極限與左右極限的關(guān)系 (5) 子列收斂性 (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 ) .)(l i m,)()(,)(l i mAxfaxxfxfAxfnnnax??????則有時的一個子列當(dāng)是數(shù)列若定理 高等數(shù)學(xué) （ XJD） .0,)()(lim)3(。)]()(l i m [)2(。)]()(l i m [)1(,)(lim,)(lim??????????BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中則設(shè).limlim,lim~,~ a ?? ??a?a ?? ?? ??a ?a 則存在且設(shè)等價替換性： 四則運算性： 推論 1 ).(lim)](l i m [,)(limxfcxcfcxf?則為常數(shù)而存在如果.)]([ l i m)](l i m [,)(limnn xfxfnxf?則是正整數(shù)而存在如果推論 2 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 準(zhǔn)則 Ⅰ′ 如果當(dāng) ),(00rxUx ? ( 或 Mx ? ) 時 , 有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx??????????那末 )(lim)(0xfxxx???存在 , 且等于 A .準(zhǔn)則 Ⅱ 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 .(夾逼準(zhǔn)則 ) (1) 1s i nl i m 0 ?? x xx (2) ex xx ???? )11(l i m 高等數(shù)學(xué) （ XJD） )。(,0li m)1(a??a??a?o記作高階的無窮小是比就說如果 .0, ?a?a 且窮小是同一過程中的兩個無設(shè)。),0(lim)2( 是同階的無窮小與就說如果 a???a? CC。~。,1li m?aa??a?記作是等價的無窮小與則稱如果特殊地.),0,0(lim)3(無窮小階的是是就說如果 kkCCk a????a? 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 。 。 0極限因子分出法求極限 。 。 。 。 。 . 高等數(shù)學(xué) （ XJD） （四）連續(xù)概念 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 左右連續(xù) 在區(qū)間 [a,b] 上連續(xù) 連續(xù)函數(shù) 的 性 質(zhì) 初等函數(shù) 的連續(xù)性 間斷點定義 連 續(xù) 定 義 0lim 0 ???? yx )()(l i m 00 xfxfxx ??連續(xù)的 充要條件 連續(xù)函數(shù)的 運算性質(zhì) 非初等函數(shù) 的連續(xù)性 振蕩間斷點 無窮間斷點 跳躍間斷點 可去間斷點 第一類 第二類 連續(xù)的內(nèi)容結(jié)構(gòu) 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 定義 1 設(shè)函數(shù) )( xf 在點0x 的某一鄰域內(nèi)有定義 ,如果當(dāng)自變量的增量 x? 趨向于零時 , 對應(yīng)的函數(shù)的增量 y? 也趨向于零 , 即0lim0????yx 或 0)]()([lim000??????xfxxfx那末就稱函數(shù) )( xf 在點0x 連續(xù) ,0x 稱為 )( xf 的連續(xù)點 .).()(lim2 00xfxfxx ??定義 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 定理 .)()( 00既左連續(xù)又右連續(xù)處在是函數(shù)處連續(xù)在函數(shù) xxfxxf ?.)(),()0(,),[)(0000處右連續(xù)在點則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxfxfbxxf ??。)(),()0(,],()(0000處左連續(xù)在點則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxfxfxaxf ??.],[)(,),(上連續(xù)在閉區(qū)間函數(shù)則稱處左連續(xù)在右端點處右連續(xù)并且在左端點內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba?? 高等數(shù)學(xué) （ XJD） (1) 跳躍間斷點： .)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點為函數(shù)則稱點但存在右極限都處左在點如果xfxxfxfxxf???(2) 可去間斷點： .)()(),()(l i m,)(00000的可去間斷點為函數(shù)義則稱點處無定在點或但處的極限存在在點如果xfxxxfxfAxfxxfxx???跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點 . 第二類間斷點： .)(,)(00類間斷點的第二為函數(shù)則稱點至少有一個不存在右極限處的左在點如果xfxxxf 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 定理 1 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) . 定理 3 )].(l i m[)()]([l i m,)(,)(l i m000xfafxfaufaxxxxxxxj??j?j???則有連續(xù)在點函數(shù)若.)]([,)(,)(,)(00000也連續(xù)在點則復(fù)合函數(shù)連續(xù)在點而函數(shù)且連續(xù)在點設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu?j????j?j?定理 4 定理 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 . 定理 6 一切初等函數(shù)在其 定義區(qū)間 內(nèi)都是連續(xù)的 . 連續(xù)函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除（在分母不為 0處）后仍為連續(xù)函數(shù) . 定理 2 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 定理 1(最大值和最小值定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 . 定理 2(有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上
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