第一章函數(shù)與極限-展示頁
2025-07-29 13:58本頁面
【正文】 加在 ??y反雙曲正切 tanhar x雙曲函數(shù)常用公式 高等數(shù)學(xué) （ XJD） （三）極限概念 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 左右極限 兩個重要 極限 求極限的常用方法 無窮小 的性質(zhì) 極限存在的 充要條件 判定極限 存在的準(zhǔn)則 無窮小的比較 極限的性質(zhì) 數(shù)列極限 函 數(shù) 極 限 axnn ???lim Axfxx ?? )(lim 0 Axfx ??? )(lim等價無窮小 及其性質(zhì) 唯一性 無窮小 0)(lim ?xf兩者的 關(guān)系 無窮大 ??)(lim xf極限的內(nèi)容結(jié)構(gòu) 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 如果數(shù)列沒有極限 , 就說數(shù)列是發(fā)散的 . 則稱 a 是數(shù)列 的極限 . nx?? ??????? ||,0,0 AxNnN n有時使當(dāng)對則稱 a 是數(shù)列 的極限 . nx或說 數(shù)列 收斂于 a. 記作 nxεN 定義： ，無限地接近于常數(shù)數(shù)列時如果 axn n,??或說 數(shù)列 收斂于 a. 記作 )(lim ?????? naxax nnn 或)(lim ?????? naxax nnn 或直覺定義： 義 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 義 ：??x 時使當(dāng) XxX ??? ||,0?? ???? |)(|,0 Axf有對 ??：Axf ?)(?? ??? |)(|,0 xf有對 ??：0)( ?xfMxfM ??? |)(|,0 有對 ??：??)( xfMxfM ??? )(,0 有對 ??：???)( xfMxfM ???? )(,0 有對 ??：???)( xf：???x 時使當(dāng) XxX ??? ,0：???x 時使當(dāng) XxX ???? ,0：00 ?? xx 時使當(dāng) ?? ????? xx 00,0：00 ?? xx 時使當(dāng) ?? ????? 00,0 xx：0xx ? 時使當(dāng) ?? ????? ||0,0 0xx)(lim? xfx?對極限的刻畫 對過程的刻畫 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 無窮小 : 極限為零的變量稱為 無窮小 . 絕對值無限增大的變量稱為 無窮大 . 無窮大 : 在同一過程中 ,無窮大的倒數(shù)為無窮小 在同一過程中 ,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 在同一過程中 ,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 有限個無窮小的乘積也是無窮小 . 無窮小的運(yùn)算性質(zhì) 在同一過程中 ,恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大 . 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 定理 若在某個過程下 , )( xf 有極限 , 則存在過程的一個時刻 , 在此時刻以后 )( xf 有界 .(2) 唯一性 定理 若 )(l i m xf 存在 , 則極限唯一 .(1) 有界性 4. 關(guān)于極限的幾個基本定理 推論 收斂的數(shù)列必定有界 . 推論 每個收斂的數(shù)列只有一個極限 . 注意： 有界性是數(shù)列收斂的必要條件 . 注意： 無界數(shù)列必定發(fā)散 . 高等數(shù)學(xué) （ XJD） ).0)((0)(,),(,0),0(0,)(l i m000???????????xfxfxUxAAAxfxx或時當(dāng)則或且若定理 ).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim 000???????????AAxfxfxUxAxfxx或則或時當(dāng)且若推論 (4) 保號性 .),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx????????????則有若設(shè)(3) 保序性 定理 推論 ).()(),(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx??????????有則且設(shè)??高等數(shù)學(xué) （ XJD） (7) 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 : 定理 1 ), ( ) ( ) ( lim 0 x A x f A x f x x a ? ? ? ? ? 其中 ) ( x a 是當(dāng) 0 x x ? 時的無窮小 . .)0()0()(lim: 000AxfxfAxfxx ???????定理(6) 極限與左右極限的關(guān)系 (5) 子列收斂性 (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 ) .)(l i m,)()(,)(l i mAxfaxxfxfAxfnnnax??????則有時的一個子列當(dāng)是數(shù)列若定理 高等數(shù)學(xué) （ XJD） .0,)()(lim)3(。)]()(l i m [)1(,)(lim,)(lim??????????BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中則設(shè).limlim,lim~,~ a ?? ??a?a ?? ?? ??a ?a 則存在且設(shè)等價替換性： 四則運(yùn)算性： 推論 1 ).(lim)](l i m [,)(limxfcxcfcxf?則為常數(shù)而存在如果.)]([ l i m)](l i m [,)(limnn xfxfnxf?則是正整數(shù)而存在如果推論 2 高等數(shù)學(xué) （ XJD） 準(zhǔn)則 Ⅰ′ 如果當(dāng) ),(00rxUx ? ( 或 Mx ? ) 時 , 有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx??????????那末 )(lim)(0xfxxx???存在 , 且等于 A .準(zhǔn)則 Ⅱ 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 .(夾逼準(zhǔn)則 ) (1) 1s i nl i m 0 ?? x xx (2) ex xx ???? )11(l i m 高等數(shù)學(xué) （ XJD） )。),0(lim)2( 是同階的無窮小與就說如果 a???a? CC。,1li m?aa??a
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