[工學(xué)]第一章矢量分析(2)(編輯修改稿)
2025-01-03 23:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 eeyexeel ??????? ??????????? ??212 ??? yx第 1章 矢量分析 27 而該點(diǎn)的梯度值為 2 2 2( 1 , 1 , 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy?? ? ? ? ? ? 顯然 ， 梯度 描述了 P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) ? 的最大變化率 ，即最大的方向?qū)?shù) ， 故 恒成立 。 P??PPl? ?? ???第 1章 矢量分析 28 矢量場(chǎng)的通量與散度 1. 矢量線 意義 ： 形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。 ),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx??矢量線方程 ： 概念： 矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。 矢量線 O M Fdrr?rdr)0( ?? rdF ??第 1章 矢量分析 29 2. 矢量場(chǎng)的通量 問(wèn)題 ： 如何定量描述矢量場(chǎng)的大小？ 引入通量的概念。 nd d dSSF S F e S??? ? ? ? ?? ? ?通量的概念 nddS e S?其中： —— 面積元矢量； ne—— 面積元的法向單位矢量； dSnddF e S? ?? —— 穿過(guò)面積元 的通量。 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是 ),( zyxF?S?dne面積元矢量 ?? ???? SS SeFSF dd n?????第 1章 矢量分析 30 0??通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出 0??有凈的矢量線進(jìn)入 0??進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等 矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從 宏觀上 建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。 通量的物理意義 第 1章 矢量分析 31 3. 矢量場(chǎng)的散度 矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，不能反映場(chǎng)域內(nèi)的每一點(diǎn)的通量特性。為了研究矢量場(chǎng)在一個(gè)點(diǎn)附近的通量特性，需要引入矢量場(chǎng)的散度，即矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的通量密度： 稱為矢量場(chǎng)的 散度 。 散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。 F???VSzyxFzyxF SV ????? ?????? d),(lim),(0第 1章 矢量分析 32 圓柱坐標(biāo)系 )(s i n1)( s i ns i n1)(1 22 ?? ????? FrFrFrrrF r ??????????? ?zFFFF z???????????????? ?? )(?球坐標(biāo)系 zFyFxFF zyx??????????? ?直角坐標(biāo)系 散度的表達(dá)式 ： 散度的有關(guān)公式 ： ??????????????????????????????????????????GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC??????????????)()(為 常量)()()()為 常矢量(0第 1章 矢量分析 33 直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) ? ?0 0 00 0 0 0 0 0,( , , ) , ,22 xxxx y zFxxF x y z F x y zx???? ? ??? ?0 0 00 0 0 0 0 0,( , , ) , ,22 xxxx y zFxxF x y z F x y zx???? ? ??0 0 0 0 0 0[ ( , , ) ( , , ) ]22xxxFxxF x y z F x y z y z x y zx???? ? ? ? ? ? ? ? ?? 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性，令包圍 P點(diǎn)的微體積 ?V 為一直角平行六面體，如圖所示。則 o x y 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算 z z ? x ? y ? P F???第 1章 矢量分析 34 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為 zFyFxFVSFF zyxSV ?????????????? ?????? dlim0zyxzFzyxyFzyxxFSF zyxS???????????????????? ?? d第 1章 矢量分析 35 4. 散度定理 ?? ???? VS VFSF dd ???體積的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。 第 1章 矢量分析 36 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 H?1. 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。 根據(jù)安培環(huán)路定理（式 ），磁場(chǎng)強(qiáng)度 沿閉合路徑 的環(huán)流就是通過(guò)以路徑 為邊界的曲面 的總電流。 其中， HB ??0??CC SJ?為電流密度 第 1章 矢量分析 37 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即 ?? ???? SC SzyxJIlzyxB ???? d),(d),( 00 ??上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要 么穿過(guò)曲面 磁感應(yīng)線要么同時(shí) 穿入和穿出曲面 磁感應(yīng)線 第 1章 矢量分析 38 ?如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為 無(wú)旋場(chǎng) ，又稱為 保守場(chǎng) 。 ? ?? C lzyxF ?? d),(?環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線 C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線 C 的線積分，即 ?如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng) ，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為 旋渦源 。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。 第 1章 矢量分析 39 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源 宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入 矢量場(chǎng)的旋度。 2. 矢量場(chǎng)的旋度 （ ） F??（ 1）環(huán)流面密度 ? ??? ?? CS lFSF ??? d1limr ot 0m稱為 矢量場(chǎng)在 點(diǎn) M 處沿方向 的 環(huán)流面密度 。 m特點(diǎn)
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