【文章內(nèi)容簡介】 數(shù) 2 2 21 2 3 4 5W a N a P a K a N P a N K? ? ? ? ?6 7 8 9 1 0 ,a P K a N a P a K a? ? ? ? ?其中 是待定常數(shù) . ? ?1 , 2 , ,1 0iai ? 通過給出的數(shù)據(jù) , 可由最小二乘法擬合 , 從而確定上述 關系式中的待定系數(shù) , 可得到農(nóng)作物產(chǎn)量 W與施肥量之間 的函數(shù)關系 . 但這樣做有兩個疑問 : 隨意假定的線性函數(shù) 關系表達式、或者二次函數(shù)表達式能否有效描述農(nóng)作物 產(chǎn)量與施肥量之間的關系？ 首先考慮產(chǎn)量 W分別與三種肥料 N、 P、 K的一元函數(shù)關 系式 : 1 2 3( ), ( ) , ( ) ,W f N W f P W f K? ? ?然后分別確定獨立的每種肥料的最佳施肥量 , 最后通過分 析平衡 , 得出使得農(nóng)作物產(chǎn)量最高的三種肥料的綜合最佳 施肥量 . 下列是幾種關系理論 一、 Nicklas ＆ Miller理論（拋物線型關系） 20 1 2d ( ) , .dw a h x w b b x b xx? ? ? ? ?即 ：其中 是最高產(chǎn)量時的施肥量 . h 二、米采利希學說（指數(shù)型關系） d ( ) ( 1 e ) .dcxw c A w w Ax?? ? ? ?即，其中 是某種肥料充足時的最高產(chǎn)量 , 由于 A0 0xw ? ? ，不施肥時產(chǎn)量為零 , 與實際情況不符 , 因為土壤中有天然 肥力 , 通常考慮天然肥力時 , 上述關系修正為 : ( 1 e ) .b c xwA ??? 三、博伊德觀點 :（分段直線關系） 某些情況下 , 若將施肥水平分為若干組 , 則各組對應的 “產(chǎn)量～施肥量”關系呈直線形式 . 例如若將施肥水平分成 兩組 , 則有如下分段直線的關系 : 0 1 10 1 1 2,0(), c c x x xwxb b x x x x? ? ??? ?? ? ?? 建模 現(xiàn)在我們根據(jù)上述專業(yè)理論 , 可設法將問題由“黑箱模 型” , 轉(zhuǎn)化為“灰箱模型” . 先通過散點圖大致估計確定施 肥量與產(chǎn)量效應關系的函數(shù)來建立模型 . 將六組實驗數(shù)據(jù)畫點圖 , 根據(jù)點圖的形狀確定生菜、土 豆產(chǎn)量分別與氮肥、磷肥、鉀肥的函數(shù)形式 . 點圖如下 : 0 200 40001020304050N ( x )土豆0 200 40001020304050P ( x )土豆0 200 400 60001020304050K ( x )土豆0 200 4000510152025N ( x )生菜0 200 400 6000510152025P ( x )生菜0 200 400 6000510152025K ( x )生菜 由上述點圖的形狀我們可以看到 : ⑴ 氮肥施用量對土豆、生菜產(chǎn)量的效應關系均為拋物線 型關系 , 函數(shù)關系可設為 221 0 1 2 2 0 1 2( ) , ( ) 。w x a a x a x w x b b x b x? ? ? ? ? ? ⑵ 磷肥施用量對土豆、生菜產(chǎn)量的效應關系均為分段直 直線型關系 , 函數(shù)關系可設為 1 2 11 2 1 2,0(),c c x x xwxc c x x x x? ? ??? ???? ? ??1，1 2 11 2 1 2,0(),d d x x xwxd d x x x x?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ??2，； ⑶ 鉀肥施用量對土豆產(chǎn)量的效應關系為指數(shù)型關系 , 函 數(shù)關系可設為 ( ) ( 1 e ) ,b c xw x A ???1 鉀肥施用量對生菜產(chǎn)量的效應關系是近似直線型 , 函數(shù) 關系可設為 : ( ) .w x a b x??2 解模 由最小二乘法確定上述施肥量與產(chǎn)量的函數(shù)關系式的系 數(shù) . ⑴ 氮肥對土豆、生菜的函數(shù)關系 : 求解 10221 0 1 21m i n [ ( ) ] .iiiL w a a N a N?? ? ? ??解之得 0121 4 . 7 4 ,0 . 1 7 9 ,0 . 0 0 0 3 4 .aaa?????? ???即 2( ) 1 4 . 7 4 0 . 1 7 9 0 . 0 0 0 3 4 .w N N N? ? ?1同理可得 2( ) 1 0 . 2 3 0 . 1 0 1 0 . 0 0 0 2 4 .w N N N? ? ?2 ⑵ 磷肥對土豆、生菜的函數(shù)關系 3 2 . 0 7 7 0 . 0 8 4 , 0 1 0 0 ,()3 9 . 1 3 0 . 0 8 5 9 , 1 0 0 3 4 2 。PPwPPP? ? ??? ?? ? ??16 . 6 9 8 0 . 0 5 4 , 0 2 0 0 ,()2 0 . 1 9 6 0 . 0 0 4 7 2 , 2 0 0 6 8 5 .PPwPPP? ? ??? ?? ? ??2 ⑶ 鉀肥對土豆、生菜的函數(shù)關系 ? ?0 . 6 0 1 0 . 0 0 1( ) 4 2 . 6 6 1 e ,KwK ????1( ) 1 6 . 2 7 2 0 . 0 0 4 6 7 .w K K??2 結(jié)果分析 模型結(jié)果分析與最佳施肥量的討論 , 我們可以得知 ⑴ 上述函數(shù)關系式反映了在一定條件下 , 每種肥料的施 用量對農(nóng)作物產(chǎn)量的效應關系 : ⒈ 氮肥 N的過量施用會造成減產(chǎn)（農(nóng)學理論稱為“燒苗”） ⒉ 磷肥 P的施用量達到某一值后 , 增加施肥量對作物產(chǎn)量 的影響作用不大 。 ⒊ 鉀肥 K的施用量的增加開始時對作物產(chǎn)量的影響較明 顯 , 逐漸的影響趨于緩和而鉀肥 K對生菜產(chǎn)量的作用關系 幾乎是一條水平直線 , 這可能是生菜的生長對鉀肥的需求 量較小 , 但也可能是由于土壤中含有的天然鉀肥已足夠滿 足生菜生長的需求 . 應用 在我們得到的函數(shù)基礎上 , 可以進行每種肥料最佳施用 量的分析 . 我們的討論不是基于產(chǎn)量最高時的最佳施肥量 , 表示農(nóng)作農(nóng)作物產(chǎn)品單價 , 則肥料單價則效益 , 而是使得經(jīng)濟效益最大的最佳施肥量 . 如果以 分別 ,wxTTwxL w T x T? ? ? ?要使得效益最大 , 則有 d 0.dLx ?又由于 為常數(shù) , 有 ,xwTTd .dxwTwxT?由此即可求出使得效益最佳的最佳施肥量 .x 如果確定了每種肥料在一定條件下的最佳施肥量 , 綜合平衡三種肥力交互作用對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響以 及施肥量固定在第七個水平的操作原理 , 可確定“既能達 ,NP??,K?到高產(chǎn) , 又不浪費肥料”的總體最佳施肥量 . 三、渡河問題 過河問題是一個比較古老而又十分有趣的數(shù)學問題 , 并 且有很多描述 . 這里僅僅是其中的一種描述 . 問題 有三名商人各帶一名隨從要乘一條小船過河 , 該船每次 最多只能容納兩個人 . 并且由于某種原因 , 商人們總是提 防著隨從們 , 預感到一旦在任何地方只要隨從人數(shù)多于商 人數(shù)，隨從就會對商人構(gòu)成危害 . 但是由于商人們控制著 如何乘船的指揮權(quán) , 所以商人們就可以設計一個安全的過 河方案 , 確保商人和隨從能順利過河 . 試為商人找出這樣的過河方案 . 建模 設在過河過程中 , 此岸的商人數(shù)為 ,x隨從數(shù)為 .y則向量 ? ?,xy 表示為在渡河過程中在此岸的商人數(shù)和隨從數(shù) , 該 向量稱為 狀態(tài)向量 . 而 ? ?? ?, | , 0 , 1 , 2 , 3E x y x y??為所有可能的狀態(tài)向量集合 . 在該集合中 , 有一部分對商人 ⒁ 是安全的 , 稱為容許狀態(tài)集合 , 記其為 即有 .S? ?? ? ? ?? ?3 , 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0 , 1 , 2 , 3S y y y y? ? ?? ?? ?, 1 , 2 ,x y x y??⒂ 在下圖中 , 實點表示為狀態(tài)容許的集合 . xyO 1 2 3123 過河的方案稱為決策 , 仍然用向量 ? ?,xy 來表示 . 小船從此岸到彼岸的一次航行 , 會使此岸的狀態(tài)發(fā)生一 次變化 , 這樣的變化稱為狀態(tài)的 轉(zhuǎn)移 . 用 ? ? ? ? ? ?1 2 3, , , , , ,s x y s x y s x y表示狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 . 其中 .isS?以 表示在狀態(tài) ? ?,i i id x y下做出的決策 . 相應關系為 ? ?,i i is x y? ?1 i is s d? ? ? ? ⒃ 上式稱為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 . 由此說明 , 渡河問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ乙幌盗械臎Q策 ,id使狀態(tài) 按⒃經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移從 ? ?,i i is x y ? ?1 3,3s到達 ? ?0 , 0 .ns 解模 下圖中實點的轉(zhuǎn)移即為相應的渡河方案 . 圖中紅色曲線弧表示向彼岸的渡河 , 而綠色曲線弧表示 從彼岸的返回 . xyO 1 2 312