[工學(xué)]第一章矢量分析(編輯修改稿)
2025-02-15 12:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ? ?? ? ?通量的概念 nddS e S?其中： —— 面積元矢量； ne—— 面積元的法向單位矢量； dSnddF e S? ?? —— 穿過(guò)面積元 的通量。 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是 ),( zyxF?S?dne面積元矢量 ?? ???? SS SeFSF dd n?????第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 24 0??通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出 0??有凈的矢量線進(jìn)入 0??進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等 矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從 宏觀上 建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。 通量的物理意義 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 25 3. 矢量場(chǎng)的散度 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系： 稱為矢量場(chǎng)的 散度 。 散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。 F???VSzyxFzyxF SV ????? ?????? d),(lim),(0][1 321321321321321）（）（）（ fhhufhhufhhuhhhf ? ??? ??? ???? ?第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 26 直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) ? ?0 0 00 0 0 0 0 0,( , , ) , ,22 xxxx y zFxxF x y z F x y zx???? ? ??? ?0 0 00 0 0 0 0 0,( , , ) , ,22 xxxx y zFxxF x y z F x y zx???? ? ??0 0 0 0 0 0[ ( , , ) ( , , ) ]22xxxFxxF x y z F x y z y z x y zx???? ? ? ? ? ? ? ? ?? 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性，令包圍 P點(diǎn)的微體積 ?V 為一直平行六面體，如圖所示。則 o x y 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算 z z ? x ? y ? P F???第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 27 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為 zFyFxFVSFF zyxSV ?????????????? ?????? dlim0zyxzFzyxyFzyxxFSF zyxS???????????????????? ?? d圓柱坐標(biāo)系 zFFFF z???????????????? ?? )(?zFyFxFF zyx??????????? ?直角坐標(biāo)系 散度的表達(dá)式 ： 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 28 )(s i n1)( s i ns i n1)(1 22 ?? ????? FrFrFrrrF r ??????????? ?球坐標(biāo)系 散度的有關(guān)公式 ： ??????????????????????????????????????????GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC??????????????)()(為 常量)()()()為 常矢量(0][1 321321321321321）（）（）（ fhhufhhufhhuhhhf ? ??? ??? ???? ?第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 29 4. 散度定理（高斯定理） ?? ???? VS VFSF dd ???體積的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 30 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 1. 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場(chǎng)。 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 31 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即 ?? ???? SC SzyxJIlzyxB ???? d),(d),( 00 ??上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要 么穿過(guò)曲面 磁感應(yīng)線要么同時(shí) 穿入和穿出曲面 磁感應(yīng)線 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 32 ?如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為 無(wú)旋場(chǎng) ，又稱為 保守場(chǎng) 。 ? ?? C lzyxF ?? d),(?環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線 C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線 C 的線積分，即 ?如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng) ，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為 旋渦源 。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 33 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源 宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入 矢量場(chǎng)的旋度。 S?CMF?n2. 矢量場(chǎng)的旋度 （ ） F??（ 1）環(huán)流面密度 ? ??? ?? CS lFSF ??? d1limr o t 0n稱為 矢量場(chǎng)在 點(diǎn) M 處沿方向 的 環(huán)流面密度 。 n?特點(diǎn) ：其值 與 點(diǎn) M 處的方向 有關(guān)。 n? 過(guò)點(diǎn) M 作一微小曲面 ?S ，它的邊界曲線記為 C，曲面的法 線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) ?S?0 時(shí)，極限 n?第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 34 而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示 。 rotxFo y ?z ?y C M
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1