【正文】 ⑴ 此炮彈能發(fā)射到的最遠(yuǎn)距離是多少？此時(shí)發(fā)射斜率為何 值？ ⑵ 此炮彈發(fā)射后擊中 200米遠(yuǎn)處的墻壁的最大高度是多少 ? 模型假定 炮彈發(fā)射角為 0,V 。PPwPPP? ? ??? ?? ? ??16 . 6 9 8 0 . 0 5 4 , 0 2 0 0 ,()2 0 . 1 9 6 0 . 0 0 4 7 2 , 2 0 0 6 8 5 .PPwPPP? ? ??? ?? ? ??2 ⑶ 鉀肥對(duì)土豆、生菜的函數(shù)關(guān)系 ? ?0 . 6 0 1 0 . 0 0 1( ) 4 2 . 6 6 1 e ,KwK ????1( ) 1 6 . 2 7 2 0 . 0 0 4 6 7 .w K K??2 結(jié)果分析 模型結(jié)果分析與最佳施肥量的討論 , 我們可以得知 ⑴ 上述函數(shù)關(guān)系式反映了在一定條件下 , 每種肥料的施 用量對(duì)農(nóng)作物產(chǎn)量的效應(yīng)關(guān)系 : ⒈ 氮肥 N的過量施用會(huì)造成減產(chǎn)（農(nóng)學(xué)理論稱為“燒苗”） ⒉ 磷肥 P的施用量達(dá)到某一值后 , 增加施肥量對(duì)作物產(chǎn)量 的影響作用不大 。 當(dāng) 121212ppkknn? ? ?時(shí)稱單位 2 吃虧 , 定義 ? ? 2 1 2 12 1 21 1 2,1k k p nr n n k p n?? ? ?為單位 2的 相對(duì)不公平度 . ⒅ ⒆ 我們的目的是 : 在每一次分配后 , 對(duì)每個(gè)單位而言 , 自己 的相對(duì)不公平度都達(dá)到最小 . 設(shè)經(jīng)過若干次分配后 , 單位 1的席位數(shù)為 1,n單位 2的席位 為 2,n并假定此時(shí)單位 1吃虧 , 即 ? ?1 1 2,r n n有意義 . 考慮下面幾種情形 : ⑴ 若將下一個(gè)席位分配給單位 1之后仍然是單位 1吃虧 , 即有 顯然下一個(gè)席位應(yīng)該給單位 1。 若 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, 1 1 ,r n n r n n? ? ?時(shí) , 這一席位應(yīng)分配給 單位 2. 注意到 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, 1 1 ,r n n r n n? ? ?等價(jià)于 1 2 2 12 1 1 2111 1 ,p n p np n p n??? ? ?即有 ? ? ? ?22121 1 2 2.11ppn n n n???⒇ 而 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, 1 1 ,r n n r n n? ? ?等價(jià)于 ? ? ? ?22121 1 2 2.11ppn n n n???由此引入 ? ? ? ?2, 1 , 2 ,1iiiipQinn???(21) 則在⑵與⑶的情況下 , 下一席位應(yīng)分配給 值較大的一方 . Q 對(duì)情形⑴ , 此時(shí)有 ? ? ? ?22221 1 2 2121 1 1 2 2 2,1 1 1p p p pn n n n n n? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?(22) 故將下一席位分配給單位 1也符合上述原則 . 將該原則用于 個(gè)單位的情況 : 當(dāng)分配新的一席位時(shí) , m首先計(jì)算在當(dāng)前席位份額下各單位的 值 , 并比較相應(yīng) Q Q單位 的值相同時(shí) , 可任取一個(gè)單位） . Q值的大小 , 將下一席位分配給 值最大的單位（當(dāng)有多個(gè) Q 將上面的方法總結(jié)如下 : ⑴ 對(duì)每個(gè)單位先各分配一席 。 w2w 和 垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考 2f 2p慮 。y? 反正 , 他愿意以較少的 來(lái)?yè)Q取較多的 x? !y?由此決定了無(wú)差別曲線弧是 下凸曲線弧 . 六、揚(yáng)帆遠(yuǎn)航 問題的提出 A B北 風(fēng)向 ??帆船 帆 海面上東風(fēng)勁吹，帆船從 點(diǎn)駛向正東方的 點(diǎn) , 為 A B南方 , 問題是如何選擇起航時(shí)的航向 和帆的朝向 . ? ? 模型分析 帆船在航行過程中既受到風(fēng)通 了借助風(fēng)力 , 船應(yīng)該先朝東北方向前進(jìn) , 然后再轉(zhuǎn)向東 過帆對(duì)船的推力，又受到風(fēng)對(duì)船 的阻力 . 風(fēng)的推力分解成 其中 與帆垂直， 12 ,w w w?? 1w 2w與帆平行 . 又分解成 為風(fēng)在航向上的推 1w1 1 2 1,w f f f??力 , 風(fēng)的阻力 分解成 其中 為風(fēng)在航向上 p12 ,p p p?? 1p的阻力 , 因?yàn)? 與 的方向正好相反 , 所以船受到的凈 1p 1f? 由流體力學(xué)知道 : 在船速不大的 當(dāng)船的航向 與帆的朝向 確定之 ? ?AB?? w2w1w1f2f1pp2p圖 2 ???????推力為 情況下航速與凈推力成正比 . 于是 后 , 應(yīng)該使船在正東方的速度 , 即 凈推力在正東方向的分力達(dá)到最大 . AB?? w2w1w1f2f1pp2p圖 2 ???????? 模型假設(shè) 記帆的迎風(fēng)面積為 ，船的迎風(fēng)面積為 1s 1. 風(fēng)通過對(duì)帆的推力 與 成正比，風(fēng)對(duì)船體的阻力 w1s 與 成正比，比例系數(shù)相同 。pnr n npn?? ? ?⑶ 把下一個(gè)席位分配給單位 2使單位 1吃虧 , 即 1212,1ppnn? ?此時(shí)單位 1的相對(duì)不公平度為 ? ? 121 1 22 `11, 1 1 。 n , 并且不超過席位數(shù) . 設(shè)單位 數(shù)為 即 ,m 。 1dv1t 所做的功等于汽車動(dòng)能的改 ,FF變 , 且 與車的質(zhì)量 成正比 . F m 建模 由假設(shè) 2， 2d 再由假設(shè) 3, 在力 作用下行駛距離 作的功 使車速 F2Fd從 變成 , 動(dòng)能的變化為 即 v 0 2 / 2,mv221 .2F d m v?又 由牛頓第二定律 ,Fm? ,F ma?22d kv?⑾ 11 .d t v??⑽ 再由上式得 其中 由假設(shè) 1剎車距離為 / 2 ,ka?21 .d t v kv?? ⑿ 為了將模型應(yīng)用于實(shí)際，需要知道參數(shù) 的值 . 取 1,kt 1t的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值 而 用曲線擬合來(lái)得到 : , k車速 實(shí)際剎車距離 計(jì)算剎車距離 剎車時(shí)間 20 42 39 30 40 116 車速 實(shí)際剎車距離 計(jì)算剎車距離 剎車時(shí)間 50 173 60 248 70 343 80 464 利用表中的數(shù)據(jù)及 得 ，于是 1 ? ? 上表中的第三列的數(shù)據(jù)是由⒀式計(jì)算得到的 . 下圖給 20 .7 5 0 .0 6 .d v v?? ⒀ 出了實(shí)際剎車距離與計(jì)算剎車距離的比較 . 0 10 20 30 40 50 60 70 80050100150200250300350400450500vD 模型評(píng)價(jià) 按照上述模型可以將所謂“ 2秒準(zhǔn)則”修正為“ 秒準(zhǔn)則” , t即后車司機(jī)可以從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 秒后到達(dá) t同一標(biāo)志 , 由下表給出 :（單位 : 英里） t t秒 車速 1 010 2 1040 3 4060 4 6080 問題二 農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量關(guān)系 某研究所為了研究氮（ N） , 磷（ P） , 鉀（ K）三種肥 料對(duì)土豆和生菜的作用 , 分別對(duì)每種作物都進(jìn)行了三種試 驗(yàn) . 試驗(yàn)中將每種肥料的施用量分為 10個(gè)水平 . 在考察其 中一種肥料的施用量與產(chǎn)量的關(guān)系時(shí) , 總是將另外兩種肥 料的施用量固定在第 7個(gè)水平上 . 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示 , 其 中施肥量單位為公斤 /公頃 , 產(chǎn)量單位為噸 /公頃 , 試建立反 映施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型 , 并從應(yīng)用價(jià)值和如何改進(jìn)等 方面作出評(píng)價(jià) . 651 342 471 558 294 404 465 245 336 372 196 259 279 147 202 186 98 135 140 73 101 93 49 67 47 24 34 0 0 0 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 K P N 土豆數(shù)據(jù) 651 685 392 558 587 336 465 489 280 372 391 224 279 294 168 186 196 112 140 147 84 93 98 56 47 49 28 0 0 0 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 K P N 生菜數(shù)據(jù) 分析 我們希望建立農(nóng)作物產(chǎn)量