【正文】 n 1 ,k ???從而有 π .4? ?⑵ 由于炮彈擊中 米外的墻壁 , 即 2002 0 0 ,x ?此時(shí)有 2220 0 ( 1 ) 20 0 ,y k l k? ? ? ?要獲得最大高度 , 仍然是一個(gè)極值問題 , 故上式對 求導(dǎo) , k并令其為零 , 則有 d 2 0 0 8 0 0 0 0dy lkk? ? ?有 1 .400kl?注意到 221400d8 0 0 0 0 ,dklylk?? ? ?此說明當(dāng) 1400kl?時(shí) , 取最大值 , 相應(yīng)的最大高度為 y1 400004yll??米 . 這里 20.2glV?二、最小二乘法與數(shù)據(jù)擬合 給定平面上 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) n ? ?,iixy我們將尋找曲線 ? ? ,y f x?使誤差盡可能的小 . 即使 ? ?? ? 21niiif x y???為最小 . 一個(gè)最為簡單的情況是 : 函數(shù) ? ?y f x?為線性函數(shù) , 即 .y a x b??⑷ 此時(shí)⑷為 21( ) .niiiy a x b????⑸ 記 ? ? 21, ( ) ,niiiF a b y a x b?? ? ??⑹ 則問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍? **,ab使 ? ?* * 21, m in ( ) , R .niiiF a b y a x b a b???? ? ? ??????⑺ 由多元函數(shù)的極值條件知 **,ab應(yīng)滿足方程 112 ( ) 0 ,2 ( ) 0 ,ni i iiniiiFy a x b xaFy a x bb????? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ????⑻ 容易得到⑻的解為 * 1 1 122111*11,1.n n ni i i ii i innniiiiinniiiin x y x yan x xab y xnn? ? ?????????? ?? ??????????????? ? ?? ? ???⑼ 該方法就稱為 最小二乘法 . 最小二乘法的幾何意義 xyOy ax b?? 進(jìn)一步地 , 若所求曲線為以多項(xiàng)式時(shí) , 則也有相應(yīng)的方 程 . 曲線擬合關(guān)系中的方程⑼常稱為 法式 方程 . 利用軟件 MatLab，可以簡單地得到擬合多項(xiàng)式中的各 項(xiàng)系數(shù) . MatLab中曲線擬合命令是 p o lyfit. 基本格式 ? ?p o l y f i t x , y , n . 這里的 是多項(xiàng)式的次數(shù) . n例 已知 11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，分別用 2次及 10次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合 . 12 y 0 X 解 在 MatLab下完成下列操作 : 程序如下 圖形如下 : 例 求解下面的最小二乘問題 68 95 90 80 40 30 20 10 0 xy解 由求解公式 , 在 MatLab下編制程序并進(jìn)行求解 , 得 0 . 0 7 9 9 , 6 7 . 9 5 9 3 .ab? ? ? 求解程序?yàn)? 問題一 汽車剎車距離 問題的提出 美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中有這樣的規(guī)則 : 正常駕駛條 件下 , 車速每增加 10英里 /小時(shí) , 后面與前面一輛車的距離 應(yīng)增加一個(gè)車身的距離 . 又云 : 實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的一種簡便 方法是所謂“兩秒準(zhǔn)則” : 即后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志 開始默數(shù) 2秒后到達(dá)同一標(biāo)志 , 而不管車速如何 . 問題分析 制定這樣的規(guī)則是為了在后車急剎車情況下不致撞上前 ? ?1 0 5 2 8 0 2 1 2 / 3 6 0 0 3 5 2 i n c h ,? ? ? ?所以 , 行駛距離用公制來表示為 : ? ?3 5 2 2 . 5 4 8 9 4 c m .??車 , 即要保持汽車的剎車距離 . 顯然剎車距離與車速有關(guān) . 先看汽車在 10英里 /小時(shí)（約 16km/h）的車速下兩秒鐘內(nèi) 汽車能行駛的距離 : 而這個(gè)距離遠(yuǎn)大于一個(gè)車身平均長度（ 15英寸 =） . 注意到剎車距離是由反應(yīng)距離和制動距離兩部分構(gòu)成的 . 反應(yīng)距離由反應(yīng)時(shí)間和車速決定的 , 反應(yīng)時(shí)間取決于司機(jī) 所以“兩秒準(zhǔn)則”與上述規(guī)則并不一致 . 為此 , 我們需要對 剎車距離作仔細(xì)的分析 . 個(gè)人的狀態(tài)和制動系統(tǒng)的靈敏性 , 一般情況下 , 把它視為 常數(shù) , 且在這段時(shí)間內(nèi)車速為常數(shù) . 制動距離與制動器作用力、車速、車重及道路、氣候 等因素有關(guān) . 設(shè)計(jì)制動器的一個(gè)合理原則是 : 最大制動力 與車的質(zhì)量成正比 , 使汽車的減速度基本上是常數(shù) . 基于 以上分析，我們可以做這樣的一些假設(shè) . 模型假設(shè) 等于反應(yīng)距離 與制動距離 之和 : d1d 2d 與車速 成正比 , 比例系數(shù)為反應(yīng)時(shí)間 。 1dv1t 所做的功等于汽車動能的改 ,FF變 , 且 與車的質(zhì)量 成正比 . F m 建模 由假設(shè) 2， 2d 再由假設(shè) 3, 在力 作用下行駛距離 作的功 使車速 F2Fd從 變成 , 動能的變化為 即 v 0 2 / 2,mv221 .2F d m v?又 由牛頓第二定律 ,Fm? ,F ma?22d kv?⑾ 11 .d t v??⑽ 再由上式得 其中 由假設(shè) 1剎車距離為 / 2 ,ka?21 .d t v kv?? ⑿ 為了將模型應(yīng)用于實(shí)際，需要知道參數(shù) 的值 . 取 1,kt 1t的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值 而 用曲線擬合來得到 : , k車速 實(shí)際剎車距離 計(jì)算剎車距離 剎車時(shí)間 20 42 39 30 40 116 車速 實(shí)際剎車距離 計(jì)算剎車距離 剎車時(shí)間 50 173 60 248 70 343 80 464 利用表中的數(shù)據(jù)及 得 ，于是 1 ? ? 上表中的第三列的數(shù)據(jù)是由⒀式計(jì)算得到的 . 下圖給 20 .7 5 0 .0 6 .d v v?? ⒀ 出了實(shí)際剎車距離與計(jì)算剎車距離的比較 . 0 10 20 30 40 50 60 70 80050100150200250300350400450500vD 模型評價(jià) 按照上述模型可以將所謂“ 2秒準(zhǔn)則”修正為“ 秒準(zhǔn)則” , t即后車司機(jī)可以從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 秒后到達(dá) t同一標(biāo)志 , 由下表給出 :（單位 : 英里） t t秒 車速 1 010 2 1040 3 4060 4 6080 問題二 農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量關(guān)系 某研究所為了研究氮（ N） , 磷（ P） , 鉀（ K）三種肥 料對土豆和生菜的作用 , 分別對每種作物都進(jìn)行了三種試 驗(yàn) . 試驗(yàn)中將每種肥料的施用量分為 10個(gè)水平 . 在考察其 中一種肥料的施用量與產(chǎn)量的關(guān)系時(shí) , 總是將另外兩種肥 料的施用量固定在第 7個(gè)水平上 . 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示 , 其 中施肥量單位為公斤 /公頃 , 產(chǎn)量單位為噸 /公頃 , 試建立反 映施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型 , 并從應(yīng)用價(jià)值和如何改進(jìn)等 方面作出評價(jià) . 651 342 471 558 294 404 465 245 336 372 196 259 279 147 202 186 98 135 140 73 101 93 49 67 47 24 34 0 0 0 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 K P N 土豆數(shù)據(jù) 651 685 392 558 587 336 465 489 280 372 391 224 279 294 168 186 196 112 140 147 84 93 98 56 47 49 28 0 0 0 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 產(chǎn)量 施肥量 K P N 生菜數(shù)據(jù) 分析 我們希望建立農(nóng)作物產(chǎn)量 與施肥量之間的函數(shù)關(guān)系 . W由于施用了 N、 P、 K三種肥料 , 若將 N、 P、 K既表示三種 肥料的名稱 , 同時(shí)又表示三種肥料的施用量 , 則考慮建立 三元函數(shù) ( , , ) .W F N P K? 顯然這是黑箱模型 . 單憑目前的信息 , 我們無法得知上 線性函數(shù) 述函數(shù)究竟是哪一種形式 . 簡單的方式 , 可以考慮取 為 FW a N b P c K d? ? ? ?? ?, , , a b c d是常數(shù) 或者取二次函