【正文】 第一章 初等模型 在這一章中 , 我們介紹幾個初等模型及相應(yīng)的求解方法 . 所謂初等模型 , 指的是該模型并不涉及高深的數(shù)學(xué)問題 , 用常用的數(shù)學(xué)工具即可求解此類問題 . 一、微積分方法尋找最優(yōu)點 問題一 鐵路線上 段的距離為 工廠 距 處 AB 100 km , C A 并且 （見下圖） 20km, .A C A B? 為了運輸需要 , 要在 上選定一點 向工廠修筑一條公路 . 已知鐵路每公里 AB ,D貨運的運費與公路每公里貨運的運費之比為 3:5,應(yīng)選在何處 ? 問 點 D建模 設(shè) km ,AD x?A BCDx20km則 10 0 ,D B x??24 0 0 .C D x??再設(shè)鐵路上貨運的運費為 3 / k m ,k 公路上貨運的運費為 5 / k m ,k 從 到 的總運費為 B C ,y 則 53y k C D k D B? ? ? ?? ? ? ?25 4 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 ,k x x x??? ? ? ? ? ??? 于是問題就歸結(jié)為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值點 . 解模 用微積分方法 , 可先求 對 的導(dǎo)數(shù) : y x25 3,400xykx??????????令 0 1 5 .yx? ? ? ? 又 ? ? ? ?0 4 0 0 , 1 5 3 8 0 ,y k y k??? ? 1100 500 1 300 ,25y k k? ? ?結(jié)論 : 當(dāng) 15kmAD ? 時總運費最小 . 問題二 有一艘駁船 , 寬度為 5米 , 欲駛過一個河渠 . 該河 有一個直角彎道 , 河渠兩邊的直角彎道各寬 10米和 12米 . 試 問 , 要駛過這個河渠 , 駁船的長度不能超過多少米 ? 假設(shè) ⑴ 不考慮河床的深度 , 整個駁船在河渠中行使都不會擱淺 。 ⑵ 駁船在轉(zhuǎn)彎過程中可以最大限 度地接近河岸 。 ⑶ 駁船是一個標(biāo)準(zhǔn)的長方體 , 在 俯視平面上記為長方形 如圖所示 ,ABCD⑷ 船體與河床一邊的夾角為 π, 0 .2?? ??? ????， 建模 由假設(shè) , 記駁船的長度為 ,l 則由題意知 : .l C D C E E D? ? ?又 1 0 ,E F B H??由相似三角形關(guān)系 , 得 s i n ,E F E D ??及 5 c o s .BH ??所以 / s i n ( 1 0 5 c o s ) / s i n ,E D E F ? ? ?? ? ?同理得 ( 1 2 5 s i n ) / c o s .CE ????由此得 1 0 5 c o s 1 2 5 s i n π( ) , 0 , .s i n c o s 2lf ?? ?????? ??? ? ?????上式表示了當(dāng) 從 變到 時河床可容忍駁船的最大長度 . ? 0 π2若駁船能轉(zhuǎn)過河床 , 則其長度不能超過上式中所有 的最小 ?者 . 注意到函數(shù) 是個可微函數(shù) , 故該問題轉(zhuǎn)化為求解 ? ?f ?? ? 0f ?? ?的問題 . ⑴ 解模 求導(dǎo)后得 225 1 0 c o s 1 2 sin 539。( ) .sin c o sf?????????該函數(shù)的零點并不容易求得 . 零點 . ⑵ 我們用二分法求出該函數(shù)的 怎么辦？？？ 因 39。(0 . 1 ) 5 0 0 , 39。( 1 . 0 ) 1 6 . 8 9 ,ff ? ? ?所以存在 ? ?* 0 . 1 ,1 . 0 ,? ?使得 *39。( ) ? ? 經(jīng)計算后有下表 500 點 點 ? ?f ?? ? ?f ??這樣 , 通過反復(fù)計算的方法 , 我們可以知道上述問題的近似 解為 ? ?0 . 7 3 0 . 1 0 6 0f ? ?? ，* 0 .7 3 ,? ?此時 進一步有 ? ?0 . 7 3 2 0 0 . 0 0 0 1 .f ? ??而此時 *( ) 21f ? ? （米） . 下面是函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的大致圖形 . 導(dǎo)函數(shù)曲線 函數(shù)曲線 分析 從導(dǎo)函數(shù)曲線圖中可以看到 , 導(dǎo)函數(shù)的零點是唯一的 , 因而問題有唯一的極值 . 再從函數(shù)曲線圖中看到 , 該曲線 是個“單谷”曲線 , 因而該點即為我們所要求的極小點 . 直觀上 , 該點應(yīng)該在區(qū)間 π0 2??????，中點的附近 , 而 π .4 ?因而該結(jié)果和猜測相差不大 . 模型評價 我們用近似求解的方法代替精確求解的方法 , 從而在計算 過程中還會帶來一定的誤差 . 因此 , 最終的結(jié)果我們是保留 了兩位有效數(shù)字 , 當(dāng)然從從實用的角度看 , 這也足夠了 . 問題三 光的折射定律 設(shè)在 軸的上下兩側(cè)有兩種不同 x的介質(zhì)甲和乙 , 光在介質(zhì)甲和介質(zhì)乙的傳播速度分別是 1v和 又設(shè)點 在介質(zhì)甲內(nèi) , 點 在介質(zhì)乙內(nèi) , 要使光線 A B從 傳播到 耗時最少 , 問光線應(yīng)取怎樣的路徑？ A B 假設(shè) 如圖所示 點 到 ,AB x軸的距離分別是 12,h h M N的長 度為 ,l MP 的長度為 .x 建模 由于在同一介質(zhì)中 , 光線的最速路徑顯然為直線 , 因此 光線從 到 的傳播路徑必為折線 其所需的總時 A B ,APM間是 2 2 2 2121211( ) ( ) , [0 , ] .t x h x h l x x lvv? ? ? ? ? ? 解模 下面來確定 滿足什么條件時 , 取得最小值 . 先求 x ? ?tx? ?tx 的導(dǎo)數(shù) : 2 2 2 212 1211( ) , ( )x l xtxvv h x h l x?? ??? ? ?由于 (0 ) 0 , ( ) 0 .t t l????且 2212332 2 2 212 221211( ) 0 ,( ) [ ( ) ]hhtxvvh x h l x?? ? ? ?? ? ?[0 , ],xl?數(shù) 的最小值點 . ? ?tx由此可知 在區(qū)間 有唯一的零點 且該點為函 ? ?tx? ? ?0,l 0,x 由 得 ? ?0,tx? ?002 2 2 2121 0 2 011 , ( )x l xvvh x h l x??? ? ?記 002 2 2 21 0 2 0si n , si n()x l xh x h l x?????? ? ?則有 12s i n s i n ,vv??? ⑶ 其中 分別表示圖中光線的入射角和反射角 . 此為光學(xué) ,??中著名的 折射定律 . 結(jié)論 物理學(xué)通過實驗發(fā)現(xiàn)了折射定律，而數(shù)學(xué)（特別是通過 數(shù)學(xué)模型）則揭示了隱藏在這一規(guī)律后面的數(shù)量關(guān)系⑶ . 應(yīng)用 ⑶ 給出了一個一般的折射定律公式 . 我們發(fā)現(xiàn)公式中有 4 個參數(shù) : 12, , , .vv??而對于一個具體問題 , 這些參數(shù)如何 確定也是數(shù)學(xué)建模需要關(guān)心的問題 . 在本題中 這兩個 ,??參數(shù)是容易通過物理實驗確定 , 這樣我們可以通過公式得 到光線通過不同介質(zhì)的速度比 . 而速度與材料的光導(dǎo)性質(zhì) 有關(guān) . 如果我們將一種材料作為參照物 , 就可以找出其它 材料的光導(dǎo)性質(zhì)參數(shù) . 問題四 一高射炮向空中射擊（不計空氣阻力） , 建立平 面直角坐標(biāo)系 , 若原點是高射炮的發(fā)射點 . 試建立數(shù)學(xué)模 型說明 : ⑴ 此炮彈能發(fā)射到的最遠距離是多少？此時發(fā)射斜率為何 值？ ⑵ 此炮彈發(fā)射后擊中 200米遠處的墻壁的最大高度是多少 ? 模型假定 炮彈發(fā)射角為 0,V 。? . 建模 炮彈的速度可分解成水平和垂直兩個分速度 , 由假定 2, 水平方向的的分速度由于沒有阻力 , 所以是勻速運動 , 而 垂直方向的分速度有地球引力 , 以重力加速度 減速 . 即 : g020x c o s ,1s in .2Vty V t g t?????????? 解模 在上式中消去 得到 ,t22( 1 ) ,y k x l k x? ? ?這里 20t a n , .2gklV???此即為問題所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模 型 . 由此模型可解決這兩個問題 . ⑴ 炮彈發(fā)射后落地時縱坐標(biāo) 0,y ?即 22( 1 ) , ( 0) ,k x l k x x? ? ??2 .( 1 )kxlk??上式中求 對 的導(dǎo)數(shù) , 并令其為零 , 則有 x k222d 1 1 0 1 .d ( 1 )xk kk l k?? ? ? ??容易看到 : 1k? 為函數(shù)的極大值點 , 即最佳角度滿足 ta