《矢量分析與場(chǎng)論》ppt課件(文件)
【正文】 uztyuzxxu ???????????數(shù)量場(chǎng)在 l方向的方向?qū)?shù)為 22232232231c o sc o sc o szyxzyzxzuyuxulu??????????????????在點(diǎn) M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 324232132131 ?????????Ml?? 梯度 ? 方向?qū)?shù)解決了函數(shù) U(P)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問(wèn)題。 圖32 梯度 ? ? ? ??? ???? ?????? ? ? ? ? l n θ ? l ? ? ? 梯度公式： ? 梯度又可以表示為算子與標(biāo)量函數(shù)相乘： ? 標(biāo)量拉普拉斯算子： ? 直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式： 2? ? ? ??? 梯度的性質(zhì)： ? 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影： ? 在標(biāo)量場(chǎng)中任意一點(diǎn) P處的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，或說(shuō)等值面法線方向就是該點(diǎn)的梯度方向 由此 ， 可將等值面 上任一點(diǎn)單位法向矢量表示為： 0u ull? ? ? ??( , , )u x y z0 uu???n? 梯度的旋度恒等于零： 0u? ? ? ?uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccuc????????????????????????)(39。亥姆霍茲定理就是對(duì)矢量場(chǎng)性質(zhì)的總結(jié)說(shuō)明。 ? 因?yàn)閳?chǎng)是由它的源引起的，所以場(chǎng)的分布由源的分布決定。無(wú)論是靜態(tài)場(chǎng)，還是時(shí)變場(chǎng)，都要研究場(chǎng)矢量的散度、旋度以及邊界條件 ? ? ?? ? ?A ρAJSVlsd d Vdd???? ? ?????ASA l J S? 源和場(chǎng)的關(guān)系： 。 ? 研究任意一個(gè)矢量場(chǎng)都應(yīng)該從散度和旋度兩個(gè)方面去進(jìn)行（或通量和環(huán)量）。 ? 任何一個(gè)矢量場(chǎng)都必須有源，矢量場(chǎng)的散度對(duì)應(yīng)發(fā)散源，矢量場(chǎng)的旋度對(duì)應(yīng)旋渦源。 ? 選定 P1為參考點(diǎn)， P2為任意動(dòng)點(diǎn)，則 P2點(diǎn)的函數(shù)值可以表示成： ? 如果已知一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，選定一個(gè)參考點(diǎn)，就可求得其標(biāo)量場(chǎng) u. 221121( ) ( )PPu d d u u P u P? ? ? ? ??? l? 結(jié)論： 亥姆霍茲定理 ? 矢量場(chǎng)的散度、旋度和標(biāo)量場(chǎng)的梯度都是場(chǎng)性質(zhì)的重要度量。很明顯，沿等值面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，其距離最短。 解：點(diǎn) M的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1， 則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為 φ=(x0+y0)2z0=0。 ? 方向?qū)?shù) ? 為了研究標(biāo)量函數(shù)在場(chǎng)中各點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況，引入方向?qū)?shù)。 = ( , , )u u x y zu ( , , )M x y z= ( , , )u u x y z( , , ) =u x y z C 例如溫度場(chǎng)中的等值面，就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場(chǎng)中的等值面，就是由電位相同的點(diǎn)組成的等位面。一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。 yBOxr ＝ 3?A四分之一圓盤 例 ： 求矢量 A=yax+xay+caz(c是常數(shù) )沿曲線 (x2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 (見(jiàn)圖 16)。B=0 則有 B= ▽ A ? 斯托克斯定理 矢量分析中另一個(gè)重要定理是 dSr o t Ad Sl ??? ?? lA稱之為斯托克斯定理 ， 其中 S是閉合路徑 l所圍成的面積 ， 它的方向與 l的方向成右手螺旋關(guān)系 。 旋度為一矢量 。 c o slld A d l?? ? ? ???Al矢量場(chǎng)的環(huán)量 zxyOld lAP?nPl? S 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 矢量場(chǎng)的旋度 ? 1）旋度的定義 設(shè) P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn) ， 作一個(gè)包含 P點(diǎn)的微小面元 ΔS， 其周界為 l， 它的正向與面元 ΔS的法向矢量 n成右手螺旋關(guān)系 。 ? divA≡0的場(chǎng)是連續(xù)的或無(wú)散的矢量場(chǎng)。 算子與矢性函數(shù) A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù) 。 解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222 ???????????zydzxydxyxdyxydx2222????????2221cyxxcz從而有 解之即得矢量方程 c1和 c2是積分常數(shù)。（課本 P6） r? rra? 球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的單位矢量的轉(zhuǎn)換： s i n c o s c o s c o s s i ns i n s i n c o s s i n c o sc o s s i nxyzaaa?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?????? ?
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