矢量分析與場論ppt課件-免費閱讀
【正文】 現(xiàn)在矢量的散度、旋度為已知，即源分布已確定，自然，矢量場分布也就唯一地確定。)()(1)(,)()(,)(,02? 梯度的積分 ? 設(shè)標量場 u,標量場梯度 F是一個無旋場，則由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零： ()lsu d u d? ? ? ? ? ? ??? ls1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 20l P C P P C PP C P P C Pu d u d u du d u d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???l l lll221121( ) ( )PPu P u d l u P F d l C? ? ? ? ? ? ???? 這說明積分與路徑無關(guān)，僅與始點 P1和終點 P2的位置有關(guān)。 = ( , , )u u x y z0( ) ( )u u uu u P u P x y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?c os c os c osu u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x y zl a x a y a z? ? ? ? ? ? ?,x y z ,? ? ? c o sxx l a l ?? ? ? ? ? ?c o syl ?? ? ? c o szl ?? ? ?l?c o s , c o s?? cos? l? 例： 求數(shù)量場 φ =(x+y)2z通過點 M(1, 0, 1)的等值面方程 。這樣的曲面稱為標量場 u的等值面。 （ 2） 該矢量沿半徑為 3的四分之一圓盤的線積分 ， 如圖所示 ， 驗證斯托克斯定理 。稱固定矢量 R為矢量 A的旋度。 ? 當 divA0，表示矢量場 A在該點處有散發(fā)通量的正源，稱為源點； divA0,表示矢量場 A在該點處有吸收通量的負源，稱為匯點；divA=0，矢量場 A在該點處無源。 ? 矢量線方程： ? 直角坐標系中，其表達式為： ? 0A dr??x y zd x d y d zA A A??0d??Ar例 12 求矢量場 A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程 。（課本 P4） ? 圓柱坐標系的位置矢量 ? 圓柱坐標系中的單位矢量與直角坐標系的單位矢量之間的關(guān)系： ,?ρ za a a???????z???ρ zr a ac o s s i n? ? ? ?ρ xya a a( sin ) c os? ? ? ? ? ?xya a a? 矩陣形式： c os si nsi n c os00?? ? ??? ? ? ??? ????? ??? ? ??? ?? ? ??? ?????? ?????????????? ?????????? ?????xyzaaa???????????ρzaaa? 三個坐標面的面元矢量與體積元： zzd d l d l d d zd d l d l d d zd d l d l d dd V d d d z? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ρ ρ ρz z zS a aS a aS a a： ? 球坐標系中，空間任意一點 P可用三個 坐標變量（ )來表示。C 2） 矢量積 任意兩個矢量 A與 B的矢量積 （ Vector Product）是一個矢量 ， 矢量積的大小等于兩個矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積 ， 其方向垂直于矢量 A與 B組成的平面 ， 如圖 13所示 ， 記為 C=A B=anAB sinθ an=aA aB （ 右手螺旋 ） CBAanaBaA ?OC ＝ A BBA( a ) ( b ) 圖 1 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積 (b) 右手螺旋 矢量積又稱為叉積 (Cross Product)， 如果兩個不為零的矢量的叉積等于零 ， 則這兩個矢量必然相互平行 ， 或者說 ， 兩個相互平行矢量的叉積一定等于零 。ax=ay 從原點指向點 P的矢量 r稱為位置矢量 (Position Vector)， 它在直角坐標系中表示為 r=axX+ayY+azZ P ( X , Y , Z )zZyxXYOrazaxay圖 11 直角坐標系中一點的投影 X、 Y、 Z是位置矢量 r在 x、 y、 z軸上的投影 。 一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標量 ， 例如 ， 電壓 、 溫度 、時間 、 質(zhì)量 、 電荷等 。 一個大小為零的矢量稱為 空矢 （ Null Vector） 或 零矢（ Zero Vector） ， 一個大小為 1的矢量稱為單位矢量（ Unit Vector） 。ay=ayA A 平面 z=常數(shù) 表示一個平行于xy平面
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