《矢量分析與場論》ppt課件-預覽頁
【正文】 aaa? 三個坐標面的面元矢量與體積元： zzd d l d l d d zd d l d l d d zd d l d l d dd V d d d z? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ρ ρ ρz z zS a aS a aS a a： ? 球坐標系中，空間任意一點 P可用三個 坐標變量（ )來表示。 2 2 2r x y z? ? ??a rc ta n ( )yx??0002r????? ? ?????? 球坐標系的位置矢量可表示為： ? 球坐標系中的三個單位矢量互相正交，遵守右手螺旋法則。 ? 矢量線方程： ? 直角坐標系中，其表達式為： ? 0A dr??x y zd x d y d zA A A??0d??Ar例 12 求矢量場 A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程 。d S相加 ， 它表示矢量場 A穿過整個曲面 S的通量 ， 也稱為矢量 A在曲面 S上的面積分： 如果曲面是一個封閉曲面，則 c o sssd A d S?? ? ? ???ASc o sssd A d S?? ? ? ???AS? 矢量場的散度 zayaxa zyx ??????????哈米爾頓 （ Hamilton） 算子 為了方便 ， 引入一個矢性微分算子： 在直角坐標系中稱之為 哈米爾頓算子 ， 是一個微分符號 ， 同時又要當作矢量看待 。 ? 當 divA0，表示矢量場 A在該點處有散發(fā)通量的正源，稱為源點； divA0,表示矢量場 A在該點處有吸收通量的負源，稱為匯點；divA=0，矢量場 A在該點處無源。 若環(huán)量不等于 0，則在 L內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場的旋渦源，若環(huán)量等于 0，則在 L內(nèi)沒有旋渦源。稱固定矢量 R為矢量 A的旋度。(▽ A)≡0 如果有一個矢量場 B的散度等于零，則該矢量 B就可以用另一個矢量 A的旋度來表示，即當 ▽ （ 2） 該矢量沿半徑為 3的四分之一圓盤的線積分 ， 如圖所示 ， 驗證斯托克斯定理 。 解： 矢量場 A的旋度 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )rot Ax y zx z y y x z z y xz y x z y x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?x y zx y za a aAa a a在點 M(1， 0， 1)處的旋度 2M? ? ? ? ?x y zA a a an方向的單位矢量 2 2 21 2 6 3( 2 6 3 )7 7 72 6 3? ? ? ? ? ? ???x y z x y zn a a a a a a在點 M(1， 0， 1)處沿 n方向的環(huán)量面密度 7177327672 ?????????? nAM? 標量場 ? 一個僅用大小就可以完整表征的場稱為標量場 ? 等值面 ? 方向?qū)?shù) ? 梯度 ? 梯度的積分 ? 等值面 ? 為考察標量場的空間分布，引入等值面的概念。這樣的曲面稱為標量場 u的等值面。如地圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標量場的等值線的例子。 = ( , , )u u x y z0( ) ( )u u uu u P u P x y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?c os c os c osu u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x y zl a x a y a z? ? ? ? ? ? ?,x y z ,? ? ? c o sxx l a l ?? ? ? ? ? ?c o syl ?? ? ? c o szl ?? ? ?l?c o s , c o s?? cos? l? 例： 求數(shù)量場 φ =(x+y)2z通過點 M(1, 0, 1)的等值面方程 。但是從標量場中的給定點出發(fā)，有無窮多個方向，函數(shù)沿其中哪個方向其變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？ ? 對同樣的 U的增量 du，存在著最大的空間增長率，即最大的方向?qū)?shù)。)()(1)(,)()(,)(,02? 梯度的積分 ? 設(shè)標量場 u,標量場梯度 F是一個無旋場，則由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零： ()lsu d u d? ? ? ? ? ? ??? ls1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 20l P C P P C PP C P P C Pu d u d u du d u d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???l l lll221121( ) ( )PPu P u d l u P F d l C? ? ? ? ? ? ???? 這說明積分與路徑無關(guān)，僅與始點 P1和終點 P2的位置有關(guān)。 ? 無旋場的散度不能處處為零，同樣，無散場的旋度也不能處處為零，否則矢量場就不存在?，F(xiàn)在矢量的散度、旋度為已知，即源分布已確定，自然，矢量場分布也就唯一
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