矢量分析與場論ppt課件(存儲版)
【正文】 的平面。（課本 P6） r? rra? 球坐標系與直角坐標系的單位矢量的轉換： s i n c o s c o s c o s s i ns i n s i n c o s s i n c o sc o s s i nxyzaaa?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?????? ??? ? ? ???? ? ? ?????? ????? ? ?????????????? ? ??????????????????raaa????????????? 面元矢量和體積元： 22sinsinsinrrrd d l d l r d dd d l d l r d rdd d l d l rd rdd V d l d l d l r d rd d??? ? ?? ? ???? ? ????? ? ?????????r r rθφS a aS a aS a a 矢量場 矢量場空間中任意一點 P處的矢量可用一個矢性函數 A=A（ P）來表示。 算子與矢性函數 A的點積為一標量函數 。 c o slld A d l?? ? ? ???Al矢量場的環(huán)量 zxyOld lAP?nPl? S 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 矢量場的旋度 ? 1）旋度的定義 設 P為矢量場中的任一點 ， 作一個包含 P點的微小面元 ΔS， 其周界為 l， 它的正向與面元 ΔS的法向矢量 n成右手螺旋關系 。B=0 則有 B= ▽ A ? 斯托克斯定理 矢量分析中另一個重要定理是 dSr o t Ad Sl ??? ?? lA稱之為斯托克斯定理 ， 其中 S是閉合路徑 l所圍成的面積 ， 它的方向與 l的方向成右手螺旋關系 。一個標量場可以用一個標量函數來表示。 ? 方向導數 ? 為了研究標量函數在場中各點的鄰域內沿每一方向的變化情況，引入方向導數。很明顯，沿等值面的法線方向的方向導數最大，其距離最短。 ? 任何一個矢量場都必須有源，矢量場的散度對應發(fā)散源，矢量場的旋度對應旋渦源。無論是靜態(tài)場，還是時變場，都要研究場矢量的散度、旋度以及邊界條件 ? ? ?? ? ?A ρAJSVlsd d Vdd???? ? ?????ASA l J S? 源和場的關系： 。亥姆霍茲定理就是對矢量場性質的總結說明。 解： l方向的方向余弦為 zyxu 22 ??322212c o s322212c o s312211c o s222222222???????????????而 222 )(,2,2zyxzuztyuzxxu ???????????數量場在 l方向的方向導數為 22232232231c o sc o sc o szyxzyzxzuyuxulu??????????????????在點 M處沿 l方向的方向導數 324232132131 ?????????Ml?? 梯度 ? 方向導數解決了函數 U(P)在給定點處沿某個方向的變化率問題。場中的等值線互不相交。 22202222020222020202)c o s2(]c o s2)c o s( si n[c o s)c o s2(s i n)s i n()c o s2()c o s2(s i n)(RdRRdRRdRRdRRdRRdRx d yy d xdl?????????????????????????????????????????????????lA 例 :求矢量場 A=x(zy)ax+y(xz)ay+z(yx)az在點 M(1， 0， 1)處的旋度以及沿 n=2ax+6ay+3az方向的環(huán)量面密度 。 ? 若旋度不等于 0，則稱該矢量場是有旋的，若旋度等于 0，則稱此矢量場是無旋的或保守的 ? 旋度的一個重要性質： 任意矢量旋度的 散度恒等于零 ， 即 ▽ 為了知道場中每個點上旋渦源的性質 ， 引入矢量場 旋度 的概念 。 A與面元 dS的標量積稱為矢量場 A穿過 dS的通量 c o sd A d S???AS 將曲面 S各面元上的 A 坐標面 表示一個以 z軸為界的半平面。 ? 平面 表示一個以 z軸為軸線的半徑為 ? 的圓柱面。B=AxBx+AyBy+AzBz 標量積服從交換律和分配律 ， 即 A 1） 標量積 任意兩個矢量 A與 B的標量積 (Scalar Product)是一個標量 ， 它等于兩個矢
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