【正文】 度場(chǎng)中的等值面，就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場(chǎng)中的等值面，就是由電位相同的點(diǎn)組成的等位面。 yBOxr ＝ 3?A四分之一圓盤(pán) 例 ： 求矢量 A=yax+xay+caz(c是常數(shù) )沿曲線 (x2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 (見(jiàn)圖 16)。 旋度為一矢量 。 ? divA≡0的場(chǎng)是連續(xù)的或無(wú)散的矢量場(chǎng)。 解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222 ???????????zydzxydxyxdyxydx2222????????2221cyxxcz從而有 解之即得矢量方程 c1和 c2是積分常數(shù)。 ,r ???? 球坐標(biāo)系也有三個(gè)坐標(biāo)面： 表示一個(gè)半徑為 r的球面。 矢量的叉積不服從交換律 ， 但服從分配律 ， 即 A B= B A A (B+C)=A B+A C 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： ax ay=az, ay az=ax, az ax=ay ax ax=ay ay=az az= 0 在直角坐標(biāo)系中， 矢量的 叉積 還可以表示為 zyxzyxBBBAAAzyx aaa?? BA =ax(AyBzAzBy)+ay(AzBxAxBz)+az(AxByAyBx) ya結(jié)論 ? 矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，符合平行四邊形法則 ? 任意兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，任意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量 ? 如果兩個(gè)不為 零 的矢量的點(diǎn)積等于 零 ，則這兩個(gè)矢量必然 互相垂直 ? 如果兩個(gè)不為 零 的矢量的叉積等于 零 ，則這兩個(gè)矢量必然 互相平行 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 ? 圓柱坐標(biāo)系 ? 空間任一點(diǎn) P的位置 可以用圓柱坐標(biāo)系 中的三個(gè)變量 來(lái)表示。ay=az任一矢量 A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量 。 實(shí)際上 ， 所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量 。 a代表矢量 A的方向 ， a=A/A其大小等于 1。B=AB cosθ B c o s ??AB 圖 12 標(biāo)量積 例如 ， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axB=B 平面 表示一個(gè)以 z為界的半平面。 2 2 2r x y z? ? ??a rc ta n ( )yx??0002r????? ? ?????? 球坐標(biāo)系的位置矢量可表示為： ? 球坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量互相正交，遵守右手螺旋法則。d S相加 ， 它表示矢量場(chǎng) A穿過(guò)整個(gè)曲面 S的通量 ， 也稱為矢量 A在曲面 S上的面積分： 如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則 c o sssd A d S?? ? ? ???ASc o sssd A d S?? ? ? ???AS? 矢量場(chǎng)的散度 zayaxa zyx ??????????哈米爾頓 （ Hamilton） 算子 為了方便 ， 引入一個(gè)矢性微分算子： 在直角坐標(biāo)系中稱之為 哈米爾頓算子 ， 是一個(gè)微分符號(hào) ， 同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待 。 若環(huán)量不等于 0，則在 L內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場(chǎng)的旋渦源，若環(huán)量等于 0，則在 L內(nèi)沒(méi)有旋渦源。(▽ A)≡0 如果有一個(gè)矢量場(chǎng) B的散度等于零，則該矢量 B就可以用另一個(gè)矢量 A的旋度來(lái)表示，即當(dāng) ▽ 解： 矢量場(chǎng) A的旋度 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )rot Ax y zx z y y x z z y xz y x z y x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?x y zx y za a aAa a a在點(diǎn) M(1， 0， 1)處的旋度 2M? ? ? ? ?x y zA a a an方向的單位矢量 2 2 21 2 6 3( 2 6 3 )7 7 72 6 3? ? ? ? ? ? ???x y z x y zn a a a a a a在點(diǎn) M(1， 0， 1)處沿 n方向的環(huán)量面密度 7177327672 ?????????? nAM? 標(biāo)量場(chǎng) ? 一個(gè)僅用大小就可以完整表征的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng) ? 等值面 ? 方向?qū)?shù) ? 梯度 ? 梯度的積分 ? 等值面 ? 為考察標(biāo)量場(chǎng)的空間分布，引入等值面的概念。如地圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標(biāo)量場(chǎng)的等值線的例子。但是從標(biāo)量場(chǎng)中的給定點(diǎn)出發(fā)，有無(wú)窮多個(gè)方向，函數(shù)沿其中哪個(gè)方向其變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？ ? 對(duì)同樣的 U的增量 du，存在著最大的空間增長(zhǎng)率，即最大的方向?qū)?shù)。 ? 無(wú)旋場(chǎng)的散度不能處處為零，同樣，無(wú)散場(chǎng)的旋度也不能處處為零，否則矢量場(chǎng)就