【正文】 ? 無旋場的散度不能處處為零，同樣，無散場的旋度也不能處處為零，否則矢量場就不存在。如地圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標(biāo)量場的等值線的例子。(▽ A)≡0 如果有一個矢量場 B的散度等于零，則該矢量 B就可以用另一個矢量 A的旋度來表示，即當(dāng) ▽ d S相加 ， 它表示矢量場 A穿過整個曲面 S的通量 ， 也稱為矢量 A在曲面 S上的面積分： 如果曲面是一個封閉曲面，則 c o sssd A d S?? ? ? ???ASc o sssd A d S?? ? ? ???AS? 矢量場的散度 zayaxa zyx ??????????哈米爾頓 （ Hamilton） 算子 為了方便 ， 引入一個矢性微分算子： 在直角坐標(biāo)系中稱之為 哈米爾頓算子 ， 是一個微分符號 ， 同時又要當(dāng)作矢量看待 。 平面 表示一個以 z為界的半平面。B=AB cosθ B c o s ??AB 圖 12 標(biāo)量積 例如 ， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： ax 實際上 ， 所有實數(shù)都是標(biāo)量 。ay=az ,r ???? 球坐標(biāo)系也有三個坐標(biāo)面： 表示一個半徑為 r的球面。 ? divA≡0的場是連續(xù)的或無散的矢量場。 yBOxr ＝ 3?A四分之一圓盤 例 ： 求矢量 A=yax+xay+caz(c是常數(shù) )沿曲線 (x2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 (見圖 16)。 解：點 M的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1， 則該點的數(shù)量場值為 φ=(x0+y0)2z0=0。 ? 研究任意一個矢量場都應(yīng)該從散度和旋度兩個方面去進行（或通量和環(huán)量）。 圖32 梯度 ? ? ? ??? ???? ?????? ? ? ? ? l n θ ? l ? ? ? 梯度公式： ? 梯度又可以表示為算子與標(biāo)量函數(shù)相乘： ? 標(biāo)量拉普拉斯算子： ? 直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達式： 2? ? ? ??? 梯度的性質(zhì)： ? 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影： ? 在標(biāo)量場中任意一點 P處的梯度垂直于過該點的等值面，或說等值面法線方向就是該點的梯度方向 由此 ， 可將等值面 上任一點單位法向矢量表示為： 0u ull? ? ? ??( , , )u x y z0 uu???n? 梯度的旋度恒等于零： 0u? ? ? ?uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccuc????????????????????????)(39。在每一個曲面上的各點，雖然坐標(biāo)值不同，但函數(shù)值均為 C。 ? 必存在一個固定矢量 R，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度， R的方向為環(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。如電力線，磁力線等。B+A 空間的一點 P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定 ， 如圖 11所示 。 在直角坐標(biāo)系中 ， 用單位矢量 ax、ay、 az表征矢量分別沿 x、 y、 z軸分量的方向 。(B+C)=A直角坐標(biāo)中，可以表示成如下形式： ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z A x y z? ? ?x y zA a a a? 矢量線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。 當(dāng)曲面 ΔS在 P點處保持以 n為法矢不變的條件下 ， 以任意方式縮向 P點 ， 取極限 l im lSPdS????? Al 若極限存在，則稱矢量場 A沿 L正向的環(huán)量與 面積 Δ S之比為矢量場在 P點處沿 n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對面積的變化率。例如，標(biāo)量 是場中點 的單值函數(shù)，它可表示為 ? 而 是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)，令 ? 隨著 C的取值不同，得到一組曲面。 ? 因此可定義用來表示一個標(biāo)量最大 空間的增長率的大小和方向的矢量 G， 就是標(biāo)量的梯度。 ? 矢量場基本方程的微分形式： ? 矢量場基本方程的積分形式： ? 亥姆霍茲定理非常重要，它總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，是研究電磁場理論的一條主線。 其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx?????或 例 :求數(shù)量場 在點 M(1, 1, 2)處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù) 。 解 ： 由于在曲線 l上 z=0，所以 dz=0。 ? 高斯散度定理 ? 矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分 . VSd V d? ? ? ???A A S