【正文】 例 :球面 S上任意點(diǎn)的位置矢量為 r=xax+yay+zaz， 求 解： 根據(jù)散度定理知 而 r的散度為 3????????????zzyyxxr所以 svd S d V? ? ? ? ??? ???rsdS??? r33s v vd d V d V R?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ???rS Α? ? 環(huán)量的定義 設(shè)有矢量場 A， l為場中的一條封閉的有向曲線 ，定義矢量場 A環(huán)繞閉合路徑 l的線 積分為該矢量的環(huán)量 ， 記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣 ， 都是描繪矢量場 A性質(zhì)的重要物理量 ， 同樣都是積分量 。 坐標(biāo)面 =常數(shù)，表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、以 z軸為軸線的圓錐面。az=1 任意兩矢量的標(biāo)量積 ， 用矢量的三個(gè)分量表示為 A 一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量 ， 電場 、 磁場 、力 、 速度 、 力矩等都是矢量 。 1） 標(biāo)量積 任意兩個(gè)矢量 A與 B的標(biāo)量積 (Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量 ， 它等于兩個(gè)矢量的大小與它 們夾角的余弦之乘積 ， 如圖 12所示 ， 記為 A ? 平面 表示一個(gè)以 z軸為軸線的半徑為 ? 的圓柱面。 A與面元 dS的標(biāo)量積稱為矢量場 A穿過 dS的通量 c o sd A d S???AS 將曲面 S各面元上的 A ? 若旋度不等于 0，則稱該矢量場是有旋的，若旋度等于 0，則稱此矢量場是無旋的或保守的 ? 旋度的一個(gè)重要性質(zhì)： 任意矢量旋度的 散度恒等于零 ， 即 ▽ 場中的等值線互不相交。亥姆霍茲定理就是對(duì)矢量場性質(zhì)的總結(jié)說明。 ? 任何一個(gè)矢量場都必須有源，矢量場的散度對(duì)應(yīng)發(fā)散源，矢量場的旋度對(duì)應(yīng)旋渦源。 ? 方向?qū)?shù) ? 為了研究標(biāo)量函數(shù)在場中各點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況，引入方向?qū)?shù)。B=0 則有 B= ▽ A ? 斯托克斯定理 矢量分析中另一個(gè)重要定理是 dSr o t Ad Sl ??? ?? lA稱之為斯托克斯定理 ， 其中 S是閉合路徑 l所圍成的面積 ， 它的方向與 l的方向成右手螺旋關(guān)系 。 算子與矢性函數(shù) A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù) 。 平面 z=常數(shù) 表示一個(gè)平行于xy平面的平面。ay=ay 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量 ， 例如 ， 電壓 、 溫度 、時(shí)間 、 質(zhì)量 、 電荷等 。ax=ay（課本 P4） ? 圓柱坐標(biāo)系的位置矢量 ? 圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量與直角坐標(biāo)系的單位矢量之間的關(guān)系： ,?ρ za a a???????z???ρ zr a ac o s s i n? ? ? ?ρ xya a a( sin ) c os? ? ? ? ? ?xya a a? 矩陣形式： c os si nsi n c os00?? ? ??? ? ? ??? ????? ??? ? ??? ?? ? ??? ?????? ?????????????? ?????????? ?????xyzaaa???????????ρzaaa? 三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量與體積元： zzd d l d l d d zd d l d l d d zd d l d l d dd V d d d z? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ρ ρ ρz z zS a aS a aS a a： ? 球坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn) P可用三個(gè) 坐標(biāo)變量（ )來表示。 ? 當(dāng) divA0，表示矢量場 A在該點(diǎn)處有散發(fā)通量的正源，稱為源點(diǎn)； divA0,表示矢量場 A在該點(diǎn)處有吸收通量的負(fù)源，稱為匯點(diǎn)；divA=0，矢量場 A在該點(diǎn)處無源。 （ 2） 該矢量沿半徑為 3的四分之一圓盤的線積分 ， 如圖所示 ， 驗(yàn)證斯托克斯定理 。 = ( , , )u u x y z0( ) ( )u u uu u P u P x y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?c os c os c osu u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x y zl a x a y a z? ? ? ? ? ? ?,x y z ,? ? ? c o sxx l a l ?? ? ? ? ? ?c o syl ?? ? ? c o szl ?? ? ?l?c o s , c o s?? cos? l? 例： 求數(shù)量場 φ =(x+y)2z通過點(diǎn) M(1, 0, 1)的等值面方程 。現(xiàn)在矢量的散度、旋度為已知，即源分布已確定，自然，矢量場分布也就唯一地確定。)()(1)(,)()(,)(,02? 梯度的積分 ? 設(shè)標(biāo)量場 u,標(biāo)量場梯度 F是一個(gè)無旋場，則由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零： ()lsu d u d? ? ? ? ? ? ??? ls1 1 2