矢量分析與場(chǎng)論ppt課件-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 量的大小與它 們夾角的余弦之乘積 ， 如圖 12所示 ， 記為 A 例如 ， 矢量 A可以表示成 A=aA 其中 ， A是矢量 A的大小 。 一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量 ， 電場(chǎng) 、 磁場(chǎng) 、力 、 速度 、 力矩等都是矢量 。 例如 ， 在直角坐標(biāo)系中 ， 矢量 A的三個(gè)分量分別是 Ax、 Ay、 Az， 利用三個(gè)單位矢量 ax、ay、 az 可以將矢量 A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量 A的大小為 A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 矢量相加的平行四邊形法則 ，矢量的加法的坐標(biāo)分量是兩矢量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量之和，矢量加法的結(jié)果仍是矢量 矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積 。az=1 任意兩矢量的標(biāo)量積 ， 用矢量的三個(gè)分量表示為 A ???????? 圓柱坐標(biāo)系中也有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面。 坐標(biāo)面 =常數(shù)，表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、以 z軸為軸線的圓錐面。 將曲面的一個(gè)面元用矢量 dS來(lái)表示 ， 其方向取為面元的法線方向 ， 其大小為 dS， 即 d d s?snn是面元法線方向的單位矢量 。 ? 高斯散度定理 ? 矢量場(chǎng)散度的體積分等于矢量場(chǎng)在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分 . VSd V d? ? ? ???A A S 例 :球面 S上任意點(diǎn)的位置矢量為 r=xax+yay+zaz， 求 解： 根據(jù)散度定理知 而 r的散度為 3????????????zzyyxxr所以 svd S d V? ? ? ? ??? ???rsdS??? r33s v vd d V d V R?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ???rS Α? ? 環(huán)量的定義 設(shè)有矢量場(chǎng) A， l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線 ，定義矢量場(chǎng) A環(huán)繞閉合路徑 l的線 積分為該矢量的環(huán)量 ， 記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣 ， 都是描繪矢量場(chǎng) A性質(zhì)的重要物理量 ， 同樣都是積分量 。 ? rotA=R ? 旋度矢量在 n方向上的投影為： ? 直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式為： ? 一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度表示該矢量場(chǎng)單位面積上的環(huán)量， 描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律 。 解 ： 由于在曲線 l上 z=0，所以 dz=0。 ? 如果某一標(biāo)量物理函數(shù) u僅是兩個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，這種場(chǎng)稱為平面標(biāo)量場(chǎng)（即二維場(chǎng)），則 u(x, y)=C （ C為任意常數(shù)） 稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等值曲線。 其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx?????或 例 :求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn) M(1, 1, 2)處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù) 。換言之，一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)，可完全由它的散度和旋度來(lái)表明；一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的性質(zhì)則完全可以由它的梯度來(lái)表明。 ? 矢量場(chǎng)基本方程的微分形式： ? 矢量場(chǎng)基本方程的積分形式： ? 亥姆霍茲定理非常重要，它總結(jié)了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，是研究電磁場(chǎng)理論的一條主線。 ? 當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類源在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理 。 ? 因此可定義用來(lái)表示一個(gè)標(biāo)量最大 空間的增長(zhǎng)率的大小和方向的矢量 G， 就是標(biāo)量的梯度。 ? 當(dāng)上式極限存在，則稱它為 函數(shù) u(P)在點(diǎn) P0處沿 方向 的方向?qū)?shù)。例如，標(biāo)量 是場(chǎng)中點(diǎn) 的單值函數(shù)，它可表示為 ? 而 是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)，令 ? 隨著 C的取值不同，得到一組曲面。 該式表明：矢量場(chǎng) A的旋度沿曲面 S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分 。 當(dāng)曲面 ΔS在 P點(diǎn)處保持以 n為法矢不變的條件下 ， 以任意方式縮向 P點(diǎn) ， 取極限 l im lSPdS????? Al 若極限存在，則稱矢量場(chǎng) A沿 L正向的環(huán)量與 面積 Δ S之比為矢量場(chǎng)在 P點(diǎn)處沿 n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對(duì)面積的變化率。 在直角坐標(biāo)系中 ， 散度的表達(dá)式可以寫為 結(jié)論 ? divA是一標(biāo)量，表示場(chǎng)中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率，即在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。直角坐標(biāo)中，可以表示成如下形式： ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z A x y z? ? ?x y zA a a a? 矢量線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。 22xy? ? ?a r c ta n ( )yx??002z???? ? ???? ? ? ? ?? 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量為
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