矢量分析與場論ppt課件-文庫吧在線文庫
【正文】 量的大小與它 們夾角的余弦之乘積 ， 如圖 12所示 ， 記為 A 例如 ， 矢量 A可以表示成 A=aA 其中 ， A是矢量 A的大小 。 一個有大小和方向的物理量稱為矢量 ， 電場 、 磁場 、力 、 速度 、 力矩等都是矢量 。 例如 ， 在直角坐標(biāo)系中 ， 矢量 A的三個分量分別是 Ax、 Ay、 Az， 利用三個單位矢量 ax、ay、 az 可以將矢量 A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量 A的大小為 A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 矢量相加的平行四邊形法則 ，矢量的加法的坐標(biāo)分量是兩矢量對應(yīng)坐標(biāo)分量之和，矢量加法的結(jié)果仍是矢量 矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積 。az=1 任意兩矢量的標(biāo)量積 ， 用矢量的三個分量表示為 A ???????? 圓柱坐標(biāo)系中也有三個相互垂直的坐標(biāo)面。 坐標(biāo)面 =常數(shù)，表示一個以原點為頂點、以 z軸為軸線的圓錐面。 將曲面的一個面元用矢量 dS來表示 ， 其方向取為面元的法線方向 ， 其大小為 dS， 即 d d s?snn是面元法線方向的單位矢量 。 ? 高斯散度定理 ? 矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分 . VSd V d? ? ? ???A A S 例 :球面 S上任意點的位置矢量為 r=xax+yay+zaz， 求 解： 根據(jù)散度定理知 而 r的散度為 3????????????zzyyxxr所以 svd S d V? ? ? ? ??? ???rsdS??? r33s v vd d V d V R?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ???rS Α? ? 環(huán)量的定義 設(shè)有矢量場 A， l為場中的一條封閉的有向曲線 ，定義矢量場 A環(huán)繞閉合路徑 l的線 積分為該矢量的環(huán)量 ， 記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣 ， 都是描繪矢量場 A性質(zhì)的重要物理量 ， 同樣都是積分量 。 ? rotA=R ? 旋度矢量在 n方向上的投影為： ? 直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式為： ? 一個矢量場的旋度表示該矢量場單位面積上的環(huán)量， 描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律 。 解 ： 由于在曲線 l上 z=0，所以 dz=0。 ? 如果某一標(biāo)量物理函數(shù) u僅是兩個坐標(biāo)變量的函數(shù)，這種場稱為平面標(biāo)量場（即二維場），則 u(x, y)=C （ C為任意常數(shù)） 稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等值曲線。 其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx?????或 例 :求數(shù)量場 在點 M(1, 1, 2)處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù) 。換言之，一個矢量場所具有的性質(zhì)，可完全由它的散度和旋度來表明；一個標(biāo)量場的性質(zhì)則完全可以由它的梯度來表明。 ? 矢量場基本方程的微分形式： ? 矢量場基本方程的積分形式： ? 亥姆霍茲定理非常重要，它總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，是研究電磁場理論的一條主線。 ? 當(dāng)一個矢量場的兩類源在空間的分布確定時，該矢量場就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理 。 ? 因此可定義用來表示一個標(biāo)量最大 空間的增長率的大小和方向的矢量 G， 就是標(biāo)量的梯度。 ? 當(dāng)上式極限存在，則稱它為 函數(shù) u(P)在點 P0處沿 方向 的方向?qū)?shù)。例如，標(biāo)量 是場中點 的單值函數(shù)，它可表示為 ? 而 是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)，令 ? 隨著 C的取值不同，得到一組曲面。 該式表明：矢量場 A的旋度沿曲面 S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分 。 當(dāng)曲面 ΔS在 P點處保持以 n為法矢不變的條件下 ， 以任意方式縮向 P點 ， 取極限 l im lSPdS????? Al 若極限存在，則稱矢量場 A沿 L正向的環(huán)量與 面積 Δ S之比為矢量場在 P點處沿 n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對面積的變化率。 在直角坐標(biāo)系中 ， 散度的表達(dá)式可以寫為 結(jié)論 ? divA是一標(biāo)量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，即在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。直角坐標(biāo)中，可以表示成如下形式： ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z A x y z? ? ?x y zA a a a? 矢量線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。 22xy? ? ?a r c ta n ( )yx??002z???? ? ???? ? ? ? ?? 圓柱坐標(biāo)系中的三個單位矢量為
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