矢量分析與場(chǎng)論ppt課件-閱讀頁(yè)
2025-05-14 02:48本頁(yè)面
【正文】 Δ S之比為矢量場(chǎng)在 P點(diǎn)處沿 n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對(duì)面積的變化率。稱固定矢量 R為矢量 A的旋度。 ? rotA=R ? 旋度矢量在 n方向上的投影為： ? 直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式為： ? 一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度表示該矢量場(chǎng)單位面積上的環(huán)量， 描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律 。(▽ A)≡0 如果有一個(gè)矢量場(chǎng) B的散度等于零，則該矢量 B就可以用另一個(gè)矢量 A的旋度來(lái)表示，即當(dāng) ▽ 該式表明：矢量場(chǎng) A的旋度沿曲面 S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分 。 （ 2） 該矢量沿半徑為 3的四分之一圓盤的線積分 ， 如圖所示 ， 驗(yàn)證斯托克斯定理 。 解 ： 由于在曲線 l上 z=0，所以 dz=0。 解： 矢量場(chǎng) A的旋度 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )rot Ax y zx z y y x z z y xz y x z y x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?x y zx y za a aAa a a在點(diǎn) M(1， 0， 1)處的旋度 2M? ? ? ? ?x y zA a a an方向的單位矢量 2 2 21 2 6 3( 2 6 3 )7 7 72 6 3? ? ? ? ? ? ???x y z x y zn a a a a a a在點(diǎn) M(1， 0， 1)處沿 n方向的環(huán)量面密度 7177327672 ?????????? nAM? 標(biāo)量場(chǎng) ? 一個(gè)僅用大小就可以完整表征的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng) ? 等值面 ? 方向?qū)?shù) ? 梯度 ? 梯度的積分 ? 等值面 ? 為考察標(biāo)量場(chǎng)的空間分布，引入等值面的概念。例如，標(biāo)量 是場(chǎng)中點(diǎn) 的單值函數(shù)，它可表示為 ? 而 是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)，令 ? 隨著 C的取值不同，得到一組曲面。這樣的曲面稱為標(biāo)量場(chǎng) u的等值面。 ? 如果某一標(biāo)量物理函數(shù) u僅是兩個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，這種場(chǎng)稱為平面標(biāo)量場(chǎng)（即二維場(chǎng)），則 u(x, y)=C （ C為任意常數(shù)） 稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等值曲線。如地圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標(biāo)量場(chǎng)的等值線的例子。 ? 當(dāng)上式極限存在，則稱它為 函數(shù) u(P)在點(diǎn) P0處沿 方向 的方向?qū)?shù)。 = ( , , )u u x y z0( ) ( )u u uu u P u P x y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?c os c os c osu u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x y zl a x a y a z? ? ? ? ? ? ?,x y z ,? ? ? c o sxx l a l ?? ? ? ? ? ?c o syl ?? ? ? c o szl ?? ? ?l?c o s , c o s?? cos? l? 例： 求數(shù)量場(chǎng) φ =(x+y)2z通過(guò)點(diǎn) M(1, 0, 1)的等值面方程 。 其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx?????或 例 :求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn) M(1, 1, 2)處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù) 。但是從標(biāo)量場(chǎng)中的給定點(diǎn)出發(fā)，有無(wú)窮多個(gè)方向，函數(shù)沿其中哪個(gè)方向其變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？ ? 對(duì)同樣的 U的增量 du，存在著最大的空間增長(zhǎng)率，即最大的方向?qū)?shù)。 ? 因此可定義用來(lái)表示一個(gè)標(biāo)量最大 空間的增長(zhǎng)率的大小和方向的矢量 G， 就是標(biāo)量的梯度。)()(1)(,)()(,)(,02? 梯度的積分 ? 設(shè)標(biāo)量場(chǎng) u,標(biāo)量場(chǎng)梯度 F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則由斯托克斯定理可知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零： ()lsu d u d? ? ? ? ? ? ??? ls1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 20l P C P P C PP C P P C Pu d u d u du d u d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???l l lll221121( ) ( )PPu P u d l u P F d l C? ? ? ? ? ? ???? 這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與始點(diǎn) P1和終點(diǎn) P2的位置有關(guān)。換言之，一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)，可完全由它的散度和旋度來(lái)表明；一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的性質(zhì)則完全可以由它的梯度來(lái)表明。 ? 無(wú)旋場(chǎng)的散度不能處處為零，同樣，無(wú)散場(chǎng)的旋度也不能處處為零，否則矢量場(chǎng)就不存在。 ? 當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類源在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理 ?，F(xiàn)在矢量的散度、旋度為已知，即源分布已確定，自然，矢量場(chǎng)分布也就唯一地確定。 ? 矢量場(chǎng)基本方程的微分形式： ? 矢量場(chǎng)基本方程的積分形式： ? 亥姆霍茲定理非常重要，它總結(jié)了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，是研究電磁場(chǎng)理論的一
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