【正文】 ? ? ? ?zyxzyxzyxzyxbbbaaakjikbjbibkajaiaba??????????????????? 平面面積可作為一個向量 nss ?? ?2022/2/12 13 數(shù)量三重積： ? ?bac ??? ??? ? ? ? ? ?zyxzyxzyxcccbbbaaacbacbacba ????????????????? ? ? ? ? ?bcacbaacbbaccba?????????????????????????????循環(huán)置換向量次序 ,結(jié)果不變 . 改變循環(huán)向量次序 ,符號改變 . 2022/2/12 14 數(shù)量三重積幾何意義：作為平行六面體的體積 。 方向：采用矢量線來幾何地表示 。 矢量線的描述是從歐拉法引出 2022/2/12 18 矢量線方程： 設(shè) 是矢量線的切向元素， 則據(jù)矢量線的定義有 直角坐標： 則有： 0?? rda ??dzkdyjdxird ???? ???zyx akajaia???? ???0?zyx aaadzdydxkji???rd?所以有： （向量線方程） zyx adzadyadx ?? 向量管：在場內(nèi)取任一非向量的封閉曲線 C， 通過 C上每一點 作矢 （ 向 ） 量線 ， 則這些矢量曲線的區(qū)域為向量管 。 梯度（ gradi e nt ）就是這樣的一個向量，它的方向即為 方向 導(dǎo)數(shù) 變化率最大的方向而其大小則為這個最大變化率的數(shù)值。 流場中兩相鄰等勢線 ? 沿梯度方向的方向?qū)?shù)達到最大值 2022/2/12 24 定理證明 : a） 滿足關(guān)系式： 證明： = ?grad ?? g r a drdd ?? ?dzzdyydxxd ?????????? ????rdg ra d ???kzjyixgr ad???? ????????? ????kdzjdyidxrd ???? ???2022/2/12 25 b)若任給一封閉曲線 L， ，且 是矢徑 的單值函數(shù)，則： 證明： ?g r a da ?? ? r?0???L rda ??0????? ??? ?? drdg r a drda LL ???梯度的 性質(zhì)： ① 標量場不均勻程度的量度； ② 梯度方向和等位面的法線方向重合 ， 指向函數(shù)值增大的方向 。 ④ 梯度的方向是標量變化最快的方向 。所以散度也就是流體的體積膨脹量。 2022/2/12 29 di v0?A的場稱為無源場。 散度的基本運算法則為： ? ? 2121 AAAA ????????? ? ? ??? ???????? AAA 2022/2/12 30 例 1：任一不可壓流場， ，在流場中一點 M取微元體，則密速（密度速度）變化量 點源： Sink 例 2：令 有 ?? ????????????? dx dy dzadx dy dzzadx dy dzyadx dy dzxa zyx )(][ ?0??? a?0??? a?zkyjxir ???? ???3)()( ??????????????? zkyjxizkyjxir???????),( zyxa?2022/2/12 31 五 、 向量的旋度 （ rotation） 預(yù)備知識 1)向量 的環(huán)量 （ Circulation） a?)( dzadyadxarda zyL xL ?????? ?? ??如 向 量 為 速度 ， 速度環(huán)量說明： （ 1 ） 速度環(huán)量表示在某一瞬時所有在 AB 線上的質(zhì)點沿 AB 運動的趨勢，和力所作功的概念相類似，即可以理解為 速度所作的功 。 當速度方向和 AB 曲線方向同向時（成銳角）為正，異向時（成鈍角）為負。這就是斯托克斯（ GStokes）定理。若極限SdlalS ??????0l i m存在，稱為向量場a?在M點處沿 n 方向上的環(huán)量面密度。 旋度就是這樣一個向量，它的方向即環(huán)量面密度最大的方向，其大小即為這個最大的環(huán)量面密度的值，記為aro t ?。 ag r a dad i vad i v ??? ??? ??? )(????????gr adaadi vaaaaaadi vcccc?????????????????????????? )()()()(?2022/2/12 41 7） 證明： br o taar o tbbad i v ?????? ????? )()()()( cc bababa ?????? ???????????)()( abba cc ???? ?????????ar o tbbr o ta ???? ?????br o taar o tb ???? ????X Z Y 順變?yōu)檎? 逆變?yōu)樨? 2022/2/12 42 0)10)9)()82?????????????????aad i v r o td i v g r a dbr o tar o tbar o t??????????在混合乘積中有兩個矢量相同，必然為 0 2022/2/12 43 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? br o taar o tbbaabbag r a d：ad i vbbd i vabaabababbabababababa： r o tad i vbbd i vabaabbar o tcccccc?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????自證證)()()()()()()()()112022/2/12 44 哈密頓算子對積分的應(yīng)用： 由 Gauss定理有： ??? ????v Sdsndv ?? ?? ?dsznaynaxnadvzayaxa zyxzyvx ?? ???????????? ),c os (),c os (),c os ()(? ? dsnkznjynixndsdvkzjyixdvssv v????? ??????????????????????????????),c os (),c os (),c os ()(2022/2/12 45 dSndVSV?? ??????? A d SnA d VSV????????? ? ? ?? A d SnBA d VBSV????????? ? ? dSndVSV?? ??????????? 由這些公式可以看出，只要把體積分中的哈密頓算子換成法向單位向量即是面積分的被積函數(shù)。 2)約定求和法則和啞指標 約定在同一項中 ， 如有兩個指標相同 ， 就表示對該指標從 1到 3求和 。 這重復(fù)的指標稱為啞指標 。 笛卡爾坐標 二、張量的定義 分別是新舊坐標系的單位基矢量 為新舊坐標之間不同坐標軸夾角的方向余弦 ji ee??,?ij?jiij ee?? ????2022/2/12 57 (1)對于流場中，標量 Φ 在新舊坐標 中，量值不變。 ),(),( 321321 xxxxxx ???),(),( 321321)( xxxxxxp ????????a?jij eeeee????? ???? ?????3132121111jiji ee?? ????a?ijjiii eeaeea ??????????? )()1()( jijijji aeeaa ?????? ??ijij ee ??????jjii eaeaa??? ????新 舊 2022/2/12 58 由 式給出了矢量的另一種定義： 對每一個直角坐標 系來說，有三個量 ，它根據(jù)（ 1）式變換到另一個坐標系 中的三個量