【正文】 (1 96) 旋度 運算規(guī)則： 0? ? ?C (1 97) () kk? ? ? ? ?FF (1 98) ()? ? ? ? ? ? ? ? ?E F E F (1 99) () u u u? ? ? ? ? ? ? ?F F F (1 100) ()? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?E F F E E F (1 101) ( ) 0? ? ? ? ?F (1 102) 0)( ???? u (1 103) 其中 C 為常矢量 , E 、 F 為矢量場函數(shù)， k 為常數(shù)， u 為標量函數(shù)。 斯托克斯定理 在矢量場 F 所在的空間中，對于任意一個以閉合曲線C 所包圍的曲面 S, 有 如下關(guān)系式 成立 ： ()SCdd? ? ? ? ??? F S F l ( 1 104) 它 表明矢量場 F 的旋度在曲面上的面積分等于矢量場在限定曲面的閉合曲線的線積分 。 例 1. 10 坐標原點處放置有一個點電荷，它在自由空間產(chǎn)生的電場強度為 33()44x y zqqx y zrr? ? ? ?? ? ? ?E r e e e， 求自由空間任意點 )0( ?r 電場強度的旋度。 解： 依題意，選取直角坐標系，根據(jù)旋度的計算公式 e e eE? ? ?? ? ?? ? ?x y zx y zx y zE E E 有 3 3 33 3 3 3 3 3440e e eEe e e????? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ????????x y zx y zqx y zx y zr r rq z y x z y xy r z r z r x r x r y r 說明 點電荷產(chǎn)生的電場為無旋場。 1 . 7 拉普拉斯 算符 及 拉普拉斯 方程 梯度、散度、旋度之間的關(guān)系 標量場的梯度 是一個 矢量函數(shù) ， 矢量場的散度 是一個 標量函數(shù) ，而 矢量場的旋度 是一個 矢量函數(shù) 。 梯度描述的是標量場的 最大變化率 ，也就是在標量場中各點的 最大方向?qū)?shù) ；散度描述的是矢量場中各點的 場量 和通量源 的關(guān)系；而旋度描述的是矢量場中各點的 場量 與 漩渦源 的關(guān)系。 如果矢量場所在的全部空間中，場的 散度處處為零 ，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為 無源場 （或管形場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的 旋度處處為零 ，則這種場不可能存在漩渦源，因而稱之為 無旋場 （或保守場）； 1 .7 .2 拉普拉斯算符及其運算 標量場 u 的梯度 u? 是一個矢量場，如果再對它求散度，即 )( u??? ，稱為標量場的拉普拉斯運算，記為： 2() uu? ? ? ? ? （ 1 105 ） 上式中的 2? 稱為拉普拉斯算符 。 在直角坐標系中： 2222222zuyuxuu?????????? （ 1 106 ） 在圓柱坐標系和球坐標系的拉普拉斯運算分別 為 ： 2222221)(1zuuuu?????????????????? ( 1 107) 22222222s i n1)( si ns i n1)(1?????? ??????????????ururrurrru (1 108) 矢量場的拉普拉斯算法的定義為： 2( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F F F (1 109) 在直角坐標系中，可推導(dǎo)出： 2 2 2 2x x y y z z? ? ? ? ? ? ?F e F e F e F (1 1 10) 其中： 222222 2 2()xxxxxx y z???? ? ? ? ? ?? ? ?FFFFF (1 1 1 1) 222222 2 2()yyyyyx y z???? ? ? ? ? ?? ? ?FFFFF (1 1 12) 222222 2 2()zzzzzx y z???? ? ? ? ? ?? ? ?FFFFF (1 1 13) 1 . 8 亥姆霍茲定理 1. 矢量場的唯一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被 唯一地確定 。這一結(jié)論稱為 矢量場的唯一性定理 。 上述唯一性定理表明，區(qū)域 V 中的矢量場被 V 中的源及邊界值 ( 或稱邊界條件 ) 唯一地確定。 也 就是 說 ，在有限區(qū)域 V內(nèi)，任意一個矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域 V 的閉合面 S 上的矢量場的分布）唯一的確定，這就是 亥姆霍茲定理 。 亥姆霍茲定理告訴我們，在分析矢量場時，需要從研究它的 散度 和 旋度 著手。 1 .8 .2 矢量場的分類 矢量場根據(jù)散度和旋度的特點可分為：無源場、無旋場和有源有旋場。 1 、 無旋場 如果在矢量場 F 中的每一點都滿足： 0? ? ?F 則稱該矢量場為無旋場。 考慮到標量場的梯度的旋度恒為零，即 0)( ???? u ( 1 1 14) 即 一個旋度處處為零的矢量場 F ，總可以把它表示為某一標量場的梯度 ： u? ? ?F ( 1 1 15) 上式 取負號是因為電磁場中取 F 的方向為標量場 u 減少的方向，函數(shù) u 稱為無旋場 F 的標量位函數(shù)，簡稱標量位。 根據(jù)斯托克斯定理可得出，無旋場 F 沿閉合路徑 C的環(huán)流為 0 ，即 0Cd??? Fl 這一結(jié)論等價于無旋場的曲線積分QPd?? Fl 與路徑無關(guān)，只與起點和終點有關(guān)。由 (1 115) 式可得： ( ) ( )Q Q Q QP P P Pud u d d l d u u P u Ql?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?F l l 取 Q 點為固定不動的點，則 Q 點的值為固定常數(shù)，記為C, 則有： ()QPu P d C? ? ??Fl (1 1 16) 這就是標量位 u 的積分表達式。 2 、 無源場 如果在矢量場 F 中的每一點都滿足： 0? ? ?F 則稱該矢量場沒有通量源，稱為 無源場 ，由于無源場的散度處處為零，所以又稱為 無散場 。 考慮到矢量場的旋度的散度恒為零，即： ( ) 0? ? ? ? ?A ( 1 1 17) 那么對于一個散度處處為零的矢量場 F ，總可以把它表示為某一矢量場的旋度，即： ? ? ?FA ( 1 1 18) 函數(shù) A 稱為 無源場 F 的矢量位函數(shù) ，簡稱 矢量位 。 由散度定理可知，無源場 F 通過任何閉合曲面 S 的通量等于 零 ，即： 0Sd??? FS (1 1 19) 3 、 有源有旋場 如果在矢量場 F 中的散度和旋度都不為零，即： u? ? ???? ? ??FFA 這里 u 和 A 為已知函數(shù)，則該矢量場為 有源有旋場 。根據(jù)亥姆霍茲定理，可將矢量場 F 看作是一個無源場 sF 和一個無旋場 rF 的 疊加 ，即： sr??F F F ( 1 120) 其中無源場 sF 和無旋場 rF 分別滿足： 0s? ? ???? ? ??sFFA ( 1 121) 0ru? ? ???? ? ?? rFF ( 1 122) 于是，可定義一個標量位函數(shù) u 和一個矢量位函數(shù) A ，使得 su? ? ???? ? ?? rFAF ( 1 123) 從而有源有旋矢量場 F 可以表示為 u? ? ? ? ? ?FA ( 1 124)