【正文】 )()()( rArurF ????? ??????0???? u 0)( ????? A?作 業(yè) P32： ， 。故無界空間中散度和旋度處處為 0的矢量場是不存在的。則 F由其在邊界面 S上的場分布完全確定。此標量函數(shù)由 F的散度和 F在邊界 S上的法向分量完全確定，而矢量場 A則由 F的旋度和 F在邊界 S上的切向分量完全確定。 若矢量場在 無限空間 中 處處單值 ，且其 導數(shù)連續(xù)有界 ，源分布在 有限區(qū)域 中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 )()()( rArurF ????? ??????式中： VrrrFruV?????? ??? d)(4 1)( ??????? ?????? ??VVrrrFrA d)(41)(??????? 亥姆霍茲定理 有界區(qū)域 ?? ?? ??????? ??? ?? SV rr SrFVrr rFru ?????????? d)(41 d)(41)(???? ?? ??????? ??? ?? SV rr SrFVrr rFrA ??????????? d)(41d)(41)(?? 在 有界區(qū)域 ，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 因此 ， 利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴} 。 n???S V ? ,? ne2: d d: d ( ) d( ) )d d ddnSVVVnnS S SSF S F VFF V VF S F e S e SS????? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ? ??證明令得到因為2 ( ) d dVSVS n?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???證畢 如果上式中的 和 對調 得到 ： 上式稱為 標量第二格林定理。 S V ? ,? ne?? ???? SV SdFdVF ??? ????F?2 ( ) d dVS VS? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???根據(jù)方向導數(shù)與梯度的關系， 上式又可寫成： 以上兩式稱為 標量第一格林定理。 02 ?? u（ 4）有散、有旋場 這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r? ? ? ?? ? ? ?無旋場部分 無散場部分 （ 5）幾種場的區(qū)別 0 , 0FF? ? ? ? ? ? 0 . 0FF? ? ? ? ? ?0 , 0FF? ? ? ? ? ? 0 , 0FF? ? ? ? ? ? 拉普拉斯運算與格林定理 ? 標量拉普拉斯運算 2u?2?—— 拉普拉斯算符 概念： uu 2)( ?????22222 2 2uuuux y z???? ? ? ?? ? ?直角坐標系 計算公式： 2222 2 211 () u u uuz?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222 2 2 2 21 1 1( ) ( si n )si n si nu u uurr r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?圓柱坐標系 球坐標系 矢量拉普拉斯運算 2 F?2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F? ? ? ? ? ? ?即 22()iiFF? ? ?注意：對于非直角分量， 22()iiFF? ? ?直角坐標系中： 如： 22()FF??? ? ?( , , )i x y z?概念： )()(2 FFF ??? ?????????? 設任意兩個標量場 ，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，由散度定理 中令 可以證明該兩個標量場滿足等式。 僅有散度源而無旋度源的矢量場， 0??? F?例如：靜電場 ???? 0E? ????E?uF ????( ) 0Fu? ? ? ?? ? ? ?無旋場 可以用標量場的梯度表示為 函數(shù) u 稱為無旋場 F 的標量位函數(shù)，簡稱標量位。 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小相等結果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即 ??? ????? LS ldFSdF ???? )(Stokes定理的證明 ： 將矢量場中的有限面積 S分割成若干小面元，第 i個小面元上一點的旋度在面元法向的分量為： iLii SldFFn i?????? ?????)( 對所有面積求和有 ： 上式右端相鄰兩面元周界的線積分全部抵消，只剩下最外周界的線積分，當 時，則有： 0?? iS??? ????? LS ldFSdF ???? )(??? ?????? iLiiiii ldFSFn ???? )(證畢 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小相等結果抵消 例題：已知 RRzzeyyexxeR zyx ????? ?????????? ),()()(求： 在 處的旋度 3RRD ?? ?0?R解： 0)1()1(3 ????????????? RRRR?另法： 03031)1(462333?????????????????RRRRRRRRRRRRRR??????梯度場是無旋場 散度源： 是標量，矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度； 無旋場與無散場 旋度源： 是矢量，矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。否則，稱為有旋場或渦旋場。它與閉合曲線的形狀無關，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 ，且通常 L的正方向與 的規(guī)定要構成右手螺旋法則，為此定義 n??n??nsldAAA Ls?l i mrot0??????????? ???稱為矢量場 的旋度（ rot是 rotation縮寫）。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。電流是磁場的旋渦源。 ? ?? C lzyxF ?? d),(?環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線 C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線 C 的線積分，即 ?如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場 ，又稱為 保守場 。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。 散度公式的證明： 將矢量場中的有限體積 V分割成若干小體元，對第 i個小體元有： isi VsdFF i???????????)( 對所有體積求和有： ???? ????? isiiiisdFVF ??? )(上式右端相鄰體元公共面上的面積分全部抵消，只剩下外表面的積分，當 時，則有： 0??iV??? ???? sV sdFdVF ??? )(iV?V S n?證畢 矢量場的環(huán)流和旋度 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。 F?VsdzyxFzyxF sV ??????????),(lim),(di v0 散度的重要性在于，可用于 表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度 ，當 ，表示該點有散發(fā)通量的 正源 ； 0div ?A?當 ，表示該點有吸收通量的 負源 ； 當 ，表示該點為無源。 通量的物理意義 （ 1）定義： 為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。 矢量線 o M Fdrr?rdrzzyyxx FeFeFeF???? ???dzedyedxerd zyx ???? ???設 M是矢量場 矢量線上的一點 矢徑為 r，則： 在 M點 dr與矢量線相切，可見 dr與 F共線： zyx FdzFdyFdx ?? 矢量場的通量與散度 例 設點電荷 q位于坐標原點，在周圍空間任一點