【正文】 4. 對(duì)于無界空間，矢量場 F由其散度和旋度完全確定。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。 （ 2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場，即 性質(zhì) ： 0d ???SSF ??0??? F?無散場可以表示為另一個(gè)矢量場的旋度 例如，恒定磁場 AB ?? ??????? 0B?AF ?? ???函數(shù) A 稱為無散場 F 的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位 旋度場 是無散場 0)( ???????? AF ??（ 3）無旋、無散場 （源在所討論的區(qū)域之外） 0F? ? ?( ) 0u? ? ?? ?Fu? ??02 ?? u0F? ? ?2?稱為拉普拉斯算符， 為拉普拉斯方程。 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近，那么 以閉合曲線L為界的面積 逐漸縮小， 也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作 （ 1）定義 sldALs ???????0limS? ? ?L ldA??即單位面積平均環(huán)流的極限。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。 矢量線方程為： 概念： 矢量線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場的方向。 l????? co sco sco s 、方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： ??? c o sc o sc o szuyuxudldzzudldyyudldxxulu????????????????????意義： 描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向 記作： 定義： 標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在 等值面的法線方向 。 ? 如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。 zzyyxx eAeAeAA???? ???A AA AA Axyz???c o sc o sc o s???)c osc osc os( ??? zyx eeeAA ???? ?????? coscoscos zyxA eeee ???? ???矢量用坐標(biāo)分量表示 z Ax?AAyAzx y （ 1）矢量的加減法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA ??????? ????? 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線 ,如圖所示。 18 其他應(yīng)用 ： 陰極射線示波器，噴墨打印機(jī)，礦物的分選，磁分離器，回旋加速器，磁流體發(fā)電機(jī)，電磁泵，磁懸浮列車，變壓器，電磁爐，電磁式生物芯片，隱形飛機(jī)，電磁高速公路等等。 1945年，能消除背景干擾顯示運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的顯示技術(shù)發(fā)明 , 使雷達(dá)更加完善。次年在美國匹茲堡城又建成一座無線廣播電臺(tái)。 1899年，電報(bào)跨越英吉利海峽的試驗(yàn)成功。神童， 10歲進(jìn)愛丁堡學(xué)院學(xué)習(xí) ， 15歲在“愛丁堡皇家學(xué)報(bào)”發(fā)表論文，卡文迪什試驗(yàn)室首任主任。 11歲做報(bào)童。 ⑤德國物理學(xué)家 安培 在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了更為普遍的電動(dòng)力學(xué)公式。 ② 16世紀(jì)吉爾伯特 的 《論磁學(xué)》， 描述了對(duì)電現(xiàn)象所做的研究，他把琥珀、金剛石、藍(lán)寶石、硫磺、樹脂等物質(zhì)經(jīng)摩擦后會(huì)吸引輕小物體的性質(zhì)稱為“電性” 。 電磁波作為 探測(cè)未知世界 的一種重要手段，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡姶挪ㄅc目標(biāo)的相互作用特性、目標(biāo)探測(cè)及特征獲取。 ③ 1820年，丹麥物理學(xué)家 奧斯特 發(fā)現(xiàn)電流磁效應(yīng)，并創(chuàng)造了 Electromagics（電磁學(xué)）一詞。 并 提出了力線概念。 1824年（ 33歲）成為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。 11 1887年，德國科學(xué)家 赫茲 用火花隙激勵(lì)一個(gè)環(huán)狀天線，用另一個(gè)帶隙的環(huán)狀天線接收，證實(shí)了麥克斯韋關(guān)于電磁波存在的預(yù)言，這一重要的實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致了后來無線電報(bào)的發(fā)明。此后 ,電話便迅速普及開來。 雷達(dá) 1936年，英國的 瓦特 設(shè)計(jì)的第一臺(tái)警戒雷達(dá)投入運(yùn)行，有效地警戒了來自德國的轟炸機(jī)。 1969年 ,大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定點(diǎn)同步通信衛(wèi)星 ,衛(wèi)星地球站已遍布世界各國，這些衛(wèi)星地球站又和本國或本地區(qū)的通信網(wǎng)接通。 AAeA???矢量的代數(shù)表示： AeAeA AA ???? ?? 矢量代數(shù) 矢量： 一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的大寫字母表示。 例如：溫度場、電位場、高度場等。 2. 方向?qū)?shù) 概念 ： M0 lM l?方向?qū)?shù)的概念 式中 ： lulMuMulullM ???????????? 000lim)()(lim|0意義 ： 方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率 。 試求： (1)該函數(shù) ? 在點(diǎn) P(1,1,1)處的梯度 ， 以及表示該梯度方向的單位矢量； (2)求該函數(shù) ? 沿單位矢量 el= ex cos60?＋ ey cos45? ＋ ez cos60?方向的方向?qū)?shù) ， 并以點(diǎn) P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較 ， 得出相應(yīng)結(jié)論 。 F?VsdzyxFzyxF sV ??????????),(lim),(di v0 散度的重要性在于，可用于 表征空間各點(diǎn)矢量場發(fā)散的強(qiáng)弱程度 ，當(dāng) ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量的 正源 ； 0div ?A?當(dāng) ，表示該點(diǎn)有吸收通量的 負(fù)源 ； 當(dāng) ，表示該點(diǎn)為無源。電流是磁場的旋渦源。 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即 ??? ????? LS ldFSdF ???? )(Stokes定理的證明 ： 將矢量場中的有限面積 S分割成若干小面元，第 i個(gè)小面元上一點(diǎn)的旋度在面元法向的分量為： iLii SldFFn i?????? ?????)( 對(duì)所有面積求和有 ： 上式右端相鄰兩面元周界的線積分全部抵消，只剩下最外周界的線積分，當(dāng) 時(shí)，則有： 0?? iS??? ????? LS ldFSdF ???? )(??? ?????? iLiiiii ldFSFn ???? )(證畢 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小相等結(jié)果抵消 例題：已知 RRzzeyyexxeR zyx ????? ?????????? ),()()(求： 在 處的旋度 3RRD ?? ?0?R解： 0)1()1(3 ????????????? RRRR?另法： 03031)1(462333?????????????????RRRRRRRRRRRRRR??????梯度場是無旋場 散度源： 是標(biāo)量，矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的散度； 無旋場與無散場 旋度源： 是矢量，矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。 n???S V ? ,? ne2: d d: d ( ) d( ) )d d ddnSVVVnnS S SSF S F VFF V VF S F e S e SS????? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ? ??證明令得到因?yàn)? ( ) d dVSVS n?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???證畢 如果上式中的 和 對(duì)調(diào) 得到 ： 上式稱為 標(biāo)量第二格林定理。此標(biāo)量函數(shù)由 F的散度和 F在邊界 S上的法向分量完全確定，而矢量場 A則由 F的旋度和 F在邊界 S上的切向分量完全確定。 )()()( rArurF ????? ??????0???? u 0)( ????? A?作 業(yè) P32： ， 。 若矢量場在 無限空間 中 處處單值 ，且其 導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界 ，源分布在 有限區(qū)域 中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 )()()( rArurF ????? ??????式中： VrrrFruV?????? ??? d)(4 1)( ??????? ?????? ??VVrrrFrA d)(41)(??????? 亥姆霍茲定理