[工學(xué)]第1章矢量分析(已改無錯字)
2023-02-21 13:05:31 本頁面
【正文】 1章 矢量分析 在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這個 修正 系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、面元和體元。 1 2 3( , , )u u u1 2 3,h h h?體元： 1 2 3 1 2 3d d d dV h h h u u u?1 2 31 1 2 2 3 3? ? ?d d d du u ul h u a h u a h u a? ? ??線元： 11 2 3 2 3 ?d d d uS h h u u a?22 1 3 1 3 ?d d d uS h h u u a?33 1 2 1 2 ?d d d uS h h u u a??面元： 正交曲線坐標(biāo)系： 電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 四、標(biāo)量場的梯度 1. 標(biāo)量場的 等值面 可以看出： 標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。 以溫度場為例： 熱源 等溫面 電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 定義： 標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。 數(shù)學(xué)表達(dá)式： d ?g r a dd nan?? ?2. 標(biāo)量場的梯度 ： ddl? 空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。 ddn? 為最大的方向?qū)?shù)。 標(biāo)量場的場函數(shù)為 ),( tzyx?0?0 d???P1P2Pdndl?電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 計(jì)算： d c osd n? ??d r a d dgl????d d dd d dnl n l???? d ? ?d nlaan???在直角坐標(biāo)系中： d d d dx y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?d d d dx y zl x a y a za? ? ?所以： ? ? ?g r a d x y za a ax y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?梯度也可表示： gra d ????0?0 d???P1P2Pdndl?電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 在柱坐標(biāo)系中： 在球坐標(biāo)系中： 在任意正交曲線坐標(biāo)系中： ? ? ?rza a ar r z?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?s inRa a aR R R??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?1 2 31 1 2 2 3 3? ? ?u u ua a ah u h u h u? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式： 在直角坐標(biāo)系中： ? ? ?x y za a ax y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 五、矢量場的散度 1. 矢線（場線）： 在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。 2. 通量： 定義： 如果在該矢量場中取一曲面 S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。 表達(dá)式： dS vS? ???若曲面為閉合曲面： dS vS? ???+ 電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 討論： a. 如果閉合曲面上的總通量 0?? 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。 b. 如果閉合曲面上的總通量 0?? 說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。 c. 如果閉合曲面上的總通量 0??說明穿入的通量等于穿出的通量。 電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 3. 散度 ： 電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 散度： 義： 矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。 ： 0ddiv l im SVFSF V???? ??電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 在直角坐標(biāo)系中選擇一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。 ? ? ?x x y y z zF F a F a F a? ? ?： 矢量場 表示為： F1 2 31 2 3d d d dS S S SF S F S F S F S? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?4 5 64 5 6d d dS S SF S F S F S? ? ? ? ? ?? ? ?通量計(jì)算式為 1Szyx6S5S4S3S2S電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 1 11? ?d ( ) ( )x x xS F S F x a y z a? ? ? ? ? ??zyxF x ???? )( 12 22? ?d ( )x x xS F S F x a y za? ? ? ? ??在 x方向上： 計(jì)算穿過 和 面的通量為 2S1S1()xF x x y z? ? ? ? ?11()( ) ( ) xxxFxF x x F x xx?? ? ? ? ??因?yàn)椋? 221()d ( ) xxSFxF S F x y z x y zx?? ? ? ? ? ? ? ???則： 在 x 方向上的總通量： 1212ddxSSFF S F S x y zx?? ? ? ? ? ? ????電磁場與電磁波 第 1章 矢量分析 在 z 方向
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