張量分析作業(yè)11(參考版)
2025-06-28 02:40本頁面
【正文】 任意二階張量B可以分解稱為對稱張量S和反對稱張量A之和，即B=S+A再有，得：。反對稱張量的主對角分量為0。對于一個實對稱二階張量，必定有一組正交標準化基，在這組基中，N化為對角型標準形，其對應的矩陣是對角型的，即稱為張量N的主分量，正交標準化基的方向為張量N的主軸方向（或主方向），對應的笛卡爾坐標系稱為張量N的主坐標系。2二階張量二階張量的分量與基張量均隨坐標轉換而變換，從而保證了其實體對于坐標的不變性。并聯(lián)式雙點積=串聯(lián)式雙點積張量T，如果它滿足對于任意一個q階張量S的內(nèi)積均為一個p階張量U，即在任意坐標系內(nèi)以下等式成立，則T必定是一個p+q階的張量。兩個張量先并乘后縮并的運算稱為點積。，有。同樣符合轉換規(guī)律。因為都符合轉換規(guī)律，有：、差同維同階方可進行和差運算。張量與坐標軸選擇無關，故可獨立于坐標系來表述。該式表示a與b并乘為一個坐標不變量，稱為二階張量。定義為二階基矢，寫在一起，不作任何運算。即：一階張量在新老坐標系中的分解為：，其中，則，得到同理，得矢量是與一階基矢相關聯(lián)的不變量，可表示為一階基矢的線性組合，此組合與坐標系的選擇無關，故為一階張量。 綜合以上可知： 同理，可推出將老坐標到新坐標的坐標轉換稱為正轉換，； 將新坐標到老坐標的坐標轉換稱為正轉換，其中為常數(shù)，稱為雅克比行列式。空間點P在新老坐標系矢徑 其中為上圖中坐標原點的位移矢量。由上定義可得在三維空間中有：
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