【正文】 ? ? ? ?? ? ? ?uf u u u例 15： 解： 設 A是二階張量。 ) 當 r = 1時。 ) ( )[ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (r r s sr s r srsssi i i i j j j jsi i j j i i j jsi i j j isddsdsdssdsdF s G sdsdF s G sdsdF s G sds???????? ? ?????? ? ??? ????? ? ???????? ? ???????H A V H A VF A V G A VA V i i A V i iA V A V i i i iA V A V i11 1 1 1 1 11 1 1 100000) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )rsr s r s r sr s r si j ji i j j i i j j i i j jssssi i j j i i j jsddF s G s F s G sd s d sddF s G F G sd s d s?????????? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ???i i iA V A V A V A V i i i iA V A A A V111 1 1 1 1 1 1 100000( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()rsr r s s r r s si i j jsi i i i j j j j i i i i j j j jssssddF s G F G sd s d sddssd s d sdd?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??i i i iA V i i A i i A i i A V i iF A V G A F A G A VFA ()( ) ( ) ( ) ( )ppdd??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?GAV G A F A VAA例 14： 設 x ∈ F 。 數(shù)量積時都是張量函數(shù)間的乘積 取為張量 運算（這一點與一元實函數(shù)不同。 ) } ( d e t ) ( * ) : ( d e t ) * :dd ??? ? ?AV A A I V A A VA由于 V的任意性： {d e t } ( d e t ) *dd ??A AAA（ ） （ ） Leibniz法則和鏈式法則 在例 12中求 2ddIA量函數(shù)， (trA)2看作是標量函數(shù)的平方函數(shù)進行求導運算， 的過程中對 (trA)2 求導時，將 trA看作一個標 并利用一元函數(shù)地求導法則： 2)]([)( xfxg ?22( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]2 ( )[ ( ) ]d g x d f x d f x d f x d f xfxd x d x d f x d x d x? ? ?因此 (trA)2作為二階張量自變量的標量值函數(shù)， (trA)2對 A的 導數(shù)運算為： ? ? ? ?22( ) ( )2 ( )d tr d tr d tr trd d tr d? ? ? ?? ? ? ???AA A AIA A A這一求導運算在一元實函數(shù)中就是兩函數(shù)的積函數(shù)求導運 算。 ( ) [ ( ) ( ) ] 。 )sQdF [ F s F d Fds ??? ? ? ? ?????A V A V A A VA即 dF (A。試證明： rsrs jjiijjiiAF iiiiAAF ????1111d)(d??? （ ） 證： 由（ ）式： VA AFVL A )(d )(d)( r?? ∵ LA( V )是 r階張量自變量的 s階張量值線性函數(shù)。 由（ ）得（將 V用 sV代換） 000()( ) ( ) ( ) ( | | | | )( ) 1( ) [ ( ) ( ) ( | | | | ) ]( ) ( )l i m( ( ) ) ( )l i mrrsstds s o sdds o sdssss t sst?????? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ???FAV F A V F A VAFAV F A V F A VAF A V F AF A V F A V000()00( ( ) ) ( )l i m( ) ( )l i m( ) ( )l i m()()tstssst s sstttssddsdsds???? ? ?????? ? ? ????????????A B A VABBAF A V F A VF B V F BF B V F BFBF A V證畢。當 || V ||→0 時， o(|| V ||)→0 。 ( )()? ? ?????Ψ i i i i Ψ i i i i Ψ i i i iΨ i i i i Ψ i i i i Ψ i i i iΨ i i i i推得： 31 13 12 21 22 2232 23 13 31 23 3232231 。 Ψ(Φ)是 Φ的二階張量值線性函數(shù)。因此有： 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )r r r r r s r rj j j j j j j j j j i i j j i i? ? ? ????Ψ Φ Ψ ii Ψ i i i i i i（ a） （ b） （ a）（ b）兩式比較可得： )( 111111 rsssrs jjiiiiiijjii iiiiii ??? ??? ?? ?這說明當（ ）式成立（或 Ω 滿足該式時），（ ） 第一式成立。這一表達式中函數(shù)的變化量可看作是兩部分。如果這個極限存在，則稱 f(x)在 x點可導。則： ( ) ( ) 。即： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?F A r r r r r r A I A A A A A該式即為（ ）式。即： 0 0 1 2 31 1 1 2 32 2 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A A AA A A AA A A A由習題 ： 1 2 31 2 3( * ) ( ( * ) , ( * ) , ( * ) )( ( ) , ( ) , ( ) ) 。 iii） 取 321 ??? ?? 對應的特征矢量為 r。 ( )????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?A r A A r A r rA r r A r r∴ 將 2 ( 1 , 2 , 3 )ii i? ? ?A r A r、 ； 代入（ f）式得： ????????????????0)(0)(0)(323231322221321211???????????????（ g） 這是關于 μ μ μ3的齊次線性代數(shù)方程組。 ( )??? ? ? ?r F A r F A r r這表明 F(A)所具有的左、右特征矢量 r與 A所具有的左、右 特征矢量 r相同?；蛘哒f r、 F(A) ( ) ( ) , ( * )( ) ( ) 。 證畢。當： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?時 F(A)是各向同性函數(shù)。 無關 。 ( * )x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r∴ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( * ) ( , , 。則由譜表示定理（ ）式： 333222111 rrrrrrA ??? ???（如果有相等的特征值時，總存在三個相互正交的三個特 征方向。 例 4： 對任意二階張量 A。對任意給定的二階正 交張量 Q。而本章的 所有分析總是假定張量函數(shù) F ( A )在自變量的定義域的每 一點都連續(xù)的。正是距 數(shù)的連續(xù)性定義。即： ()( ) :? ? ?? ? ? ?p p n σ np σ n σ n（ c）第三章例 23給出的： Iσσε )(1 trEE ?? ???式中應變二階張量 ε =ε (σ )是應力二階張量的函數(shù)。函數(shù)可寫為： xax ??)(f而對同一個 a及變矢量 x： kjiijk xae ixa ??式中 f ( )取為法則 a ( ) 。 5． r=2， s=2時： Φ記為 A； F記為 F。 2． r=1， s=0時： Φ記為 u； F記為 f。 i1, i2, i3}是 V 的一組標準正 交坐標系。 ( , , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA B i i? ? ? ? ?A B A B⊙ （ ） 容易證明 ??, 具有下列性質： i）對稱性： , , 。且對任意 r 階張 量 A∈ Pr ，有： )3,2,1,(。第四章 張量函數(shù)和張量分析 在前面三章中主要對集合的代數(shù)結構進行了討論，并由多 重線性映射引入了張量空間。設 Pr是由 V張成的 r 階張量空間。按第一章第四節(jié)的標量積可以 定義 A,B∈ P的標量積： 11 1, 。||||),(（ ） （ ） 一、張量函數(shù) 設 V是三維 Euclid 矢量空間， {o。 f (x)就是一元 實函數(shù)。或稱 F (A)是 二階張量自變量的標量值函數(shù)。 ( x )是矢量自變量 的標量值函數(shù)。因此 p n的函數(shù)（不同截面上的應力矢量不同）。由實函數(shù)理論 | x x0 |和 | f (x) – f (x0) |按距離的概念分別代表了實數(shù) x和 x0 離概念的引入使得一元實函數(shù)的連續(xù)性可以推廣到張量函 的距離及給定的 x和 x0的函數(shù)值 f (x)和 f (x0)的距離。 關于張量函數(shù)連續(xù)性的更深入的理論分析主要是針對函數(shù) 在 A0 是否連續(xù)以及在 A0 點不連續(xù)時的性質等。則稱 Φ 是各向同性張量函數(shù)。 證： ∵ 1* * ( t r ) *1* ( t r ) *1* ( t r )EEEEEE???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?Q ε σ σ I σ Q σ Q I σ Q σ I∴ )( σεε ?( ) ( * )1* t r ( * )1* [ t r ( * )1* ( t r )QEEEEEE??????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?ε σ ε Q σ σ σ QIQ σ Q σ Q Q IQ σ Q σ I是各向同性張量函數(shù)。當且僅當 F (A)可表示為 A的不變量 I1(A)， I2(A)， I3(A)的函數(shù)： 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F I I I?A A A A （ ） 證： 設 A的特征值為 λ λ2 、 λ3，對應的特征矢量為 r r r3。 ( * ) 。, rQrQrQrrr ???或者說左邊 F只是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)，而與