【正文】 )d ?I A V O (O是二階零張量。求 的微分。 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p pd d ddd d d? ? ???? ? ?????H A F A G AH A V V V G A F A VA A A（ ） 證： ? ?1 1 1 11 1 1 11 1 100000( 。 定理： （ Leibniz法則） 設(shè) F , G , A分別是 r、 s、 p階張量。 r點乘 。本節(jié)通過兩個定理 給出這兩個法則。 )}d d AVA 表達(dá)式中得： {d e t( 。 ) } [ ( ) ] { [ ( ) ] [ ( ) ] }: { d e t( ) }()ssd d d s s ssd d s d s??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???A V A V a A V b A V cV A VA a b c22[ ( ) ] { [ ( ) ] [ ( ) ] }( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ](s s ss s ss s s ssss? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??A V a A V b A V cA a V a A b V b A c V cA a V a A b A c A b V c V b A c V b V cA a A b A c A a A b V c A a V b A c2 2 32) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] { ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] } { ( ) [ (ssssss? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?A a V b V c V a A b A cV a A b V c V a V b A c V a V b V cA a A b A c A a A b A c A a V b A cV a A b A c A a3) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] } ( ) [ ( ) ( ) ]s? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?V b V c V a A b V cV a V b A c V a V b V c∴ 0[ ( ) ] { [ ( ) ] [ ( ) ] }()( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]()sd s s sds ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????A V a A V b A V ca b cA a A b V c V b A c V a A b A ca b c( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]()? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????V c A a A b V b A c A a V a A b A ca b c由第三章例 8有： ( ) ( ) ( de t ) * ( )( ) ( ) ( de t ) * ( )( ) ( ) ( de t ) * ( )???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A a A b A A a bA c A a A A c aA b A c A A b c代入上式得： { de t ( 。 解： ∵ 2 2 3 2 31 2 31 1 1 1( ) 。最后得： ( ) ( * )*d F d Fdd??? ? ?A Q A QAA( ) ( * )*d F d Fdd??? ? ?A Q A QAA即 ()dFd AA 是各向同性函數(shù)。 ∴ 0( ) 1: l im ( ) ( ) ] ( 。試證明 函數(shù) F(A)的微分和導(dǎo)數(shù)是各向同性函數(shù)。若 ss iiiiF iiF ?? 11? 11rrj j j jA?A i i， 。由 {o。并且對任意 V∈ Pr增量有： 0r sd ( ) d( ) ( s )d d s????FA V F A VA （ ） 證： 如果 d ( )d?A FAL A 存在，由于 LA 是線性張量函數(shù)，由商法則的 唯一性可知， F(A)在 A處的導(dǎo)數(shù)是唯一的。 )d?AL V F A V （ ） 由于 LA(V )是 r階張量自變量 V 的 s階張量值 LA的線性函數(shù)。 o(|| V ||)是 V的非線性部分。 1 。 ( ) 。 0? ? ?? ? ? ?∵ 1 2 2 1 1 21 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 3() i j i j?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?Ψ i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i∴ 2 1 1 2 1 1 1 2 3 3 1 21 。 （ ） 例 8： 設(shè) Ψ、 Φ是二階張量。 是滿足（ ）第一式的另一 r+s階張量。 ( ) ( )rr????Ψ Φ Ω Φ Ψ Φ Φ Ω（ ） 證：（僅給出左點乘證明） ∵ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )s r s s s s s s r srr i i j j i i j j k k k k j j i i j j i i??? ? ? ? ? ?Ω Φ i i i i i i i i而 Ψ (Φ)是線性函數(shù)。正是這一特點，張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作是一元 實函數(shù)導(dǎo)數(shù)的這一形式定義的推廣。當(dāng)將一元實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念推廣到一般張量函 )()()()( xOxxfxfxxf ??? ?????式中 O(Δx )表示 Δx的高階小量，當(dāng) Δx趨于零時 O(Δx )趨 于零。另一方面在一元實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義中，自變量的改變 只有兩種變化趨勢。 : : 0??I A O I A I因此四階張量 A可表示為： lkjijkiljkikklij iiiiA )](32[21 ??????? ???11 1 1 22 2 2 32 2 211 1 1 1 1 22 2 2 2 2 33 3 3 3 311 22 33 11 1 11: : {( ) : [ 2 3 ( ) ] } :21{ [ 2 3 ( ) ] [ 2 3 ( ) ] [ 2 3 ( ) ] } :2[ ( ) 3 (ij k l ik jl il jk i j k lk l l k l k k l k l l k l k k l k l l k l k k l? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?σ A σ i i i i i i i i i i σi i i i i i σI i i2 2 222 2 2 33 3 3 11 22 33 11 22 332 2 2 2 2 2 211 22 33 11 22 33 11 22 22 33 33 11 11 22 332 2 211 22 22 33 33 11) ] : [ ( ) : 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ][ ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ] [ 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ][ ( ) 2 ( ) ( ) ]? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?i i i i σ I σ最后得： 2 2 2 2 211 22 22 33 33 11: : [ ( ) ( ) ( ) ] 0f ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?σ A σ或： ???????? 2211332112222211 ])()()( ?????? 張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 在一元實函數(shù)分析中，實函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)通過極限： )()()(l i m 0 xfx xfxxfx ????? ???定義。 ( ) : : ( ) 0mm? ? ?? ? ? ?σ IA σ I試求 f = 0 的 σ 分量表達(dá)式。 ( )? ? ???AA是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)，將用 A的主不變量表示為： )(0 A?))(),(),(()( 32100 AAAA III?? ?由（ ）式得： 2300( ) ( , , )tr tr tr?? ?A A A A是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)只可能取為： )(0 A?0 () tr???AA∴ F(A)是線性各向同性二階張量值函數(shù)。 例 6： 試求二階對稱張量自變量的各向同性二階張量值線性函數(shù)。因此： 333222111 rrrrrr ??? ??作為由 A的特征矢量 r1,r2,r3張量積構(gòu)成的二階張量可由線性 無關(guān)的二張量組 {I, A, A2}線性表示。 若 F(A)是各向性函數(shù)； A是對稱二階張量。 ** * * * ( * )? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A Q I Q A Q A Q A Q A Q Q I Q IQ A Q Q A I A Q Q A Q Q A Q Q A Q∴ 20 1 220 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( * )( ) ( * ) ( * ) * ( * ) ( * )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A I A Q A Q A Q A QF Q A Q Q A Q I Q A Q Q A Q Q A Q Q A Q是 A的主不變量 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、 1 2 3( ) ( ) ( )I I IA A A、 、 的函數(shù)。 證畢。 12 0????方程（ h）的解為： 這表明 {I, A}是線性無關(guān)組。 ii） {I, A}是線性無關(guān)組。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r221 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )( ) 。當(dāng)： i） ii） iii） 時： {I, A, A2}是線性無關(guān)二階張量組； 321 ??? ??321 ??? ??321 ??? ??時： {I, A}是線性無關(guān)二階張量組； 時： {I}是線性無關(guān)二階張量組。 0 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r F A r r F A r r r r r將這一結(jié)論代入（ d），（ e）式得： ( ) 。即： F??? ?? 。 F(A) 是同一個矢量方向，因此這三個矢 量相差一個實數(shù)乘積。 F(A)都是二階張量 R的特征矢量。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A R F A F A RR F A r F A R r R F A r F A r（ b） 同理： ( ) * ( ) 。 證： 設(shè) A的單位特征矢量為 r，其對應(yīng)的特征值為 λ。 證： ∵ : * : ( )tr? ? ?A A A A A A由（ ）式中第一和第二式有： 2212( ) [ ( ) ] 2 ( )tr tr I I? ? ? ?A A A A A∴ )(2)]([)(221 AAA IIF ??F(