【正文】 試求 f = φ ( x ) u ( x )的微分。當(dāng)將一元實函數(shù)推廣到一般張量函數(shù)時，兩個張量函 數(shù)的積函數(shù)求導(dǎo)運算由推廣的 Leibniz法則給出。V )是各向同性函數(shù)。 例 9： 設(shè) V 中標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系為 {o。 1 。 （ ）式給出了 Ω的確定表達式。且記極限 值為 )(xf ?數(shù)時，由于張量函數(shù)的自變量是張量，且張量的除法是沒 有意義的。同理可得（ ）和（ ）式。顯然有： orI ???∵ 。 證畢。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A F A R R F A R Rr F A R r R F A r F A R r F A（ c） 由（ a）（ b）（ c）可知 r、 F(A) 因此最后得 F(A)是各向同性函數(shù) 時，當(dāng)且僅當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?應(yīng)當(dāng)注意的是： 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A中 F和 F 是同一函數(shù)的不同變量表示。 , , ) ( , , 。試證明： i） IAAAAAAAF )()()()( 32213 III ????是各向同性張量函數(shù)。即認(rèn)為張量函數(shù)都是自變量張量的連續(xù)函 數(shù)。 即是二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。則： )(: AFAF ? （ ） F(A)稱為二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。 Pr、 Ps是由 {o。 111 ?? riiii iiA rr ??? iiA如果對任意的 A∈ Pr，存在二組實數(shù)： )3,2,1,(。 i1, i2, i3}是 V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交 坐標(biāo)系。? ? ?A A A A P⊙Pd ???? BABABA ,。則： )(: AA FF ? （ ） F (A)稱為二階張量自變量的零階張量值函數(shù)。顯然物體受力是確定的 ，而對 同一位置矢量標(biāo)定的點， σ 是不變的常二階張量。那么 F ( A ) 的 A0 點是連續(xù)函數(shù)。i i Qf? ? ?f u u i u Q u∴ fQiQuf ???? iiQ f )(由 ： )( uQffQ ???ii） FFQ ? （坐標(biāo)變換不改變標(biāo)量） *))(()( QAQiQiQiiA ??????? jiijQjiijQ AA∴ *)()( QAQA ??? FFiii） ∵ *))(()()( QFQiQiQiiAF ??????? jiijQjiijQ FF*QAQA ???Q∵ ∵ ∴ *)(* QAQFQFQ ?????例 3： 試證明： 1 ()tr?????ε σ σ IEE是各向同性函數(shù)。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r21 1 1 2 2 2 3 3 3( * ) 。即： ),()( 321 ???FF ?A又 ∵ λ λ2 、 λ3是方程： 0)()()( 31213 ???? AAA III ???的根。 ( ) ( )( ) ( ) 。兩式相減得： ( ) ( ) ( ) 。 121211? ???? ? ? ?∵ ∴ 12??? 0??。 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A r r r r r r F A r r r r r r由引理 2可知 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。 : : 0? ? ?A I O I A O I A I又 ∵ A是各向同性四階張量由（ ）式得： lkjijkiljlikklij iiiiA )]([ ???????? ???∴ : [ ( ) ] : ( ) [ ( ) ]3 2 ( 3 2 ) 3 2 0i j k l i k j l i l j k i j k l m m i j m m i m j m i m j m i ji j i j i j i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A I i i i i i i i ii i i i I O容易驗證當(dāng) 3λ+2μ =0時： : 。則存在唯一的 Ω∈ Ps+r ，使得： ( ) ( ) 。 ( )( ) 。 定理： 張量函數(shù) F(A)在 A處的導(dǎo)數(shù)若存在，則 d ( )dFAA是唯一 的。 * )1l i m ( * * ) ( * ) ]1l i m ( ( ) * ) ( * ) ]ssdFdFd[ F s Fs[ F s Fs????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?AV Q A Q Q V QAQ A Q Q V Q Q A A V Q Q A Q又 ∵ )(*)( AQAQ FF ??? （ F(A)是各向同性函數(shù)） 。即： cbau 321 uuu ???ucbaacbcacbbacbabaccbacbbacacbaccbabcbaaacbubacucbauacbbaccbau)()()()()()()()()()()()()(])()()[(321321321?????????????????????????????????????????????uuuuuuuuu∴ [ ( ) ( ) ( ) ]()? ? ? ? ? ? ???u a b c c a b b c a ua b c[ ( ) ( ) ( ) ]()? ? ? ? ????a b c c a b b c aIa b c將該式代入 {d e t( 。且： ( ) ( ) ( )( 。 rA∵ AAA ?? ? )( 1rr∴ 1111()( 。 設(shè) F、 G、 A分別是 r、 s、 p階張量。 例 11： 計算 ()tr ?AA 的導(dǎo)數(shù)和微分。 i1, i2, i3構(gòu)成的 }3,2,1,。 11? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??其余 )3,2,1,( ?lkjii j k l? 均為零。則： 設(shè) ΩΦΩΦΨ )()( r??將該式與（ ）第一式相減得： ΦΩΦΩΦΨΦΨ )()()()( rr ?? ???由于張量的 r點乘是線性運算，（見 。即 Δx0和 Δx0 , 而對張量函數(shù)，即 使對自變量是矢量的情況 , 自變量 Δu的改變量可以是任意 方向的改變。 表達式 解： ∵ F(A)是各向同性張量函數(shù)。 定理： 二階對稱張量自變量的二階張量值函數(shù) F(A)是各向 同性的。 證： i） 若 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。同時 r還是二階對稱張量 A的特征矢量。 3 , 4f x y x x y x s t y t? ? ? ? ?則： 22 2 2 2 2 3( , )( , ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) 9 6 1 2 4f x y x x yf s t s t s t t s s t t s t t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證畢。? ? ? ? ? ?Q r r Q r r Q r r因此若要： ),。 ii） 設(shè) A的特征值為 λ，特征矢量為 u ≠ o。如果對 Φ 中線性表示的每一個由 r 個 V 中矢量張量積的項都作用 任意給定的正交二階張量 Q ，而 Φ不發(fā)生變化。若對任意給定的正數(shù) ε， 總存在著一個正數(shù) δ 。則： ii xa?? xa式中 f ( )取為法則 a 張量函數(shù)的自變 量取值的開集 ( 或閉集 ) Φ ∈ P ? Pr 的 P 稱為張量函數(shù)的 定義域；張量函數(shù) F(Φ )的所有定義域中 Φ 的取值集合（ s 階張量集合）稱為張量函數(shù)的值域。而滿足（ ）的所有 A構(gòu)成 Pr的一個子集合，且 稱這一子集合為 Pr的一個閉集（若等號不成立則稱為開集） 。本章的 主要內(nèi)容旨在解決上述問題。 0 , 0? ? ? ? ? ? ? ?A A A A A A⊙（ ） 對任意 Pr中的張量 A, B∈ P 。 3． r=1， s=1時： Φ記為 u， F記為 f，則： )(: ufuf ? （ ） F (u)稱為一階張量自變量的一階張量值函數(shù)。該點的應(yīng)力 狀態(tài)可由應(yīng)力張量 σ 表示。使得當(dāng)所有的自變量張量 A 滿足： ??? |||| 0AA時，對應(yīng)的張量函數(shù)都有： 0|| ( ) ( ) || ???F A F A （ ） 則稱 F( A ) 在 A0 點連續(xù)。 簡稱 Φ (Ψ )是各向同性張量函數(shù)。,()( 321321 rrrA ???FF ?∵ F (A) 是各向同性函數(shù)。那么等式兩邊的函數(shù)是兩個不同的函數(shù)。 證： 設(shè) A的單位特征矢量為 r，其對應(yīng)的特征值為 λ。即： F??? ?? 。 ii） {I, A}是線性無關(guān)組。 若 F(A)是各向性函數(shù)； A是對稱二階張量。 ( ) : : ( ) 0mm? ? ?? ? ? ?σ IA σ I試求 f = 0 的 σ 分量表達式。正是這一特點，張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作是一元 實函數(shù)導(dǎo)數(shù)的這一形式定義的推廣。 0? ? ?? ? ? ?∵ 1 2 2 1 1 21 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 3() i j i j?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?Ψ i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i∴ 2 1 1 2 1 1 1 2 3 3 1 21 。 )d?AL V F A V （ ） 由于 LA(V )是 r階張量自變量 V 的 s階張量值 LA的線性函數(shù)。試證明 函數(shù) F(A)的微分和導(dǎo)數(shù)是各向同性函數(shù)。 ) } [ ( ) ] { [ ( ) ] [ ( ) ] }: { d e t( ) }()ssd d d s s ssd d s d s??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???A V A V a A V b A V cV A VA a b c22[ ( ) ] { [ ( ) ] [ ( ) ] }( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ](s s ss s ss s s ssss? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??A V a A V b A V cA a V a A b V b A c V cA a V a A b A c A b V c V b A c V b V cA a A b A c A a A b V c A a V b A c2 2 32) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] { ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] } { ( ) [ (ssssss? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?A a V b V c V a A b A cV a A b V c V a V b A c V a V b V cA a A b A c A a A b A c A a V b A cV a A b A c A a3) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] } ( ) [ ( ) ( ) ]s? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?V b V c V a A b V cV a V b A c V a V b V c∴ 0[ ( ) ] { [ ( ) ] [ ( ) ] }()( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]()sd s s sds ?