【正文】 。 ( )()? ? ?????Ψ i i i i Ψ i i i i Ψ i i i iΨ i i i i Ψ i i i i Ψ i i i iΨ i i i i推得： 31 13 12 21 22 2232 23 13 31 23 3232231 。 ( )( ) 。 0? ? ?? ? ? ?依次可由： 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 22 3 3 2 3 1 1 3 3 2 2 33 3 3 3( ) 。 解： 由（ ）式得： ( ) ( )ij k l i j ij i j k l k l?? ??i i i i i i Ψ ii∵ 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 3 1 1 2 3 3 1 1 1 3 1 3 2 1 1 3 2 3 3 1 1 3 3() i j i j?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?Ψ i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i∴ 1111 1211 33111 。 Ψ(Φ)是 Φ的二階張量值線性函數(shù)。 證畢。則： 設(shè) ΩΦΩΦΨ )()( r??將該式與（ ）第一式相減得： ΦΩΦΩΦΨΦΨ )()()()( rr ?? ???由于張量的 r點乘是線性運算，（見 。即 Ω的分量由 Ψ作用 在 Pr張量空間基底組的每一個基底上的值確定。因此有： 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )r r r r r s r rj j j j j j j j j j i i j j i i? ? ? ????Ψ Φ Ψ ii Ψ i i i i i i（ a） （ b） （ a）（ b）兩式比較可得： )( 111111 rsssrs jjiiiiiijjii iiiiii ??? ??? ?? ?這說明當(dāng)（ ）式成立（或 Ω 滿足該式時），（ ） 第一式成立。則存在唯一的 Ω∈ Ps+r ，使得： ( ) ( ) 。 商法則： 設(shè) Φ∈ Ps,Ψ ∈ Pr。同時按這種形式定義的導(dǎo)數(shù)不需要進(jìn)行除 法運算。這一表達(dá)式中函數(shù)的變化量可看作是兩部分。為此將一元實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式等價地變成為： 。即 Δx0和 Δx0 , 而對張量函數(shù)，即 使對自變量是矢量的情況 , 自變量 Δu的改變量可以是任意 方向的改變。因此對張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不能采用上述極限的形 式。如果這個極限存在，則稱 f(x)在 x點可導(dǎo)。 : : 0? ? ?A I O I A O I A I又 ∵ A是各向同性四階張量由（ ）式得： lkjijkiljlikklij iiiiA )]([ ???????? ???∴ : [ ( ) ] : ( ) [ ( ) ]3 2 ( 3 2 ) 3 2 0i j k l i k j l i l j k i j k l m m i j m m i m j m i m j m i ji j i j i j i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A I i i i i i i i ii i i i I O容易驗證當(dāng) 3λ+2μ =0時： : 。 解： ∵ 2 2 2( ) : : ( ) : : : : : : : :m m m m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?σ IA σ I σ A σ σ A I I A σ I A I∴ : 。 m tr? ? ? ?? ? ? ?σ i i i i i i σ若 σ m≠ 0 ，且： 0:: ??? ?σAσf 2。則： ( ) ( ) 。則： 21( ) 0 。 表達(dá)式 解： ∵ F(A)是各向同性張量函數(shù)。 證畢。即： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?F A r r r r r r A I A A A A A該式即為（ ）式。 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A r r r r r r F A r r r r r r由引理 2可知 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。當(dāng) A的特征值 321 ??? ?? 時，由引理 1可知 F(A)與 A有相同的特征矢量 r1, r2 , r3。 同理可得 F(A)表示為（ ）和（ ）式形式時是各 向同性函數(shù)。即： 0 0 1 2 31 1 1 2 32 2 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A A AA A A AA A A A由習(xí)題 ： 1 2 31 2 3( * ) ( ( * ) , ( * ) , ( * ) )( ( ) , ( ) , ( ) ) 。 是二階對 證： 當(dāng) F(A)表示為（ ）的形式時： ∵ 20 1 222( ) ( ) * ( ) * ( ) * 。 定理： 二階對稱張量自變量的二階張量值函數(shù) F(A)是各向 同性的。 ∴ or? 0??這表明 {I}是線性無關(guān)組。 iii） 取 321 ??? ?? 對應(yīng)的特征矢量為 r。 121211? ???? ? ? ?∵ ∴ 12??? 0??。則當(dāng) μ1 = μ2 = 0 時： OAI ?? 21 ??取 321 , ??? ? 對應(yīng)的特征矢量為 r1, r2。 方程組（ g）的解為： 0321 ??? ???這表明 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。 ( )????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?A r A A r A r rA r r A r r∴ 將 2 ( 1 , 2 , 3 )ii i? ? ?A r A r、 ； 代入（ f）式得： ????????????????0)(0)(0)(323231322221321211???????????????（ g） 這是關(guān)于 μ μ μ3的齊次線性代數(shù)方程組。則： ???????????????????orAAIorAAIorAAI323212232112321)()()(?????????（ f） ∵ 1 1 1 2 2 2 3 3 3。 證： i） 若 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。 引理 2： 若 A是二階張量。 ( )??? ? ? ?r F A r F A r r這表明 F(A)所具有的左、右特征矢量 r與 A所具有的左、右 特征矢量 r相同。兩式相減得： ( ) ( ) ( ) 。)( rAFrF??? ?? 。 F(A) 是具有 相同方向的長度不同的三個矢量?；蛘哒f r、 F(A) r 、 r 同時 r還是二階對稱張量 A的特征矢量。r 、 r ( ) ( ) , ( * )( ) ( ) 。 ( ) ( )( ) ( ) 。則： rrAAr ?????由 r構(gòu)造二階張量： IrrR ?? 2對任意 u∈ V ： ( ) ( ) [ ( 2 ) ] [ ( 2 ) ]4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?R u R u r r I u r r I ur r r u r u r u r u u u u u因此由 r構(gòu)造的 R是正交二階張量。則 F(A)與 A有相同的單位特征矢量。 證畢。試證明： AAA :)( ?F是各向同性函數(shù)。 3 , 4f x y x x y x s t y t? ? ? ? ?則： 22 2 2 2 2 3( , )( , ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) 9 6 1 2 4f x y x x yf s t s t s t t s s t t s t t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證畢。因此 F和 F的函數(shù)形式可能不同。當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?時 F(A)是各向同性函數(shù)。即： ),()( 321 ???FF ?A又 ∵ λ λ2 、 λ3是方程： 0)()()( 31213 ???? AAA III ???的根。此時 321 , rQrQrQ ???的函數(shù)的函數(shù)值相等。否則若左邊 F是 r r2 、 r3的函數(shù)，右邊是 12,??Q r Q r3?Qr等式的含義是當(dāng)給定 r r2 、 r3和 的函數(shù)。 無關(guān) 。,( 321321321321 rQrQrQrrr ???? ?????? FF等式左邊和等式右邊的 321321 ,。? ? ? ? ? ?Q r r Q r r Q r r因此若要： ),。 , , )F F F? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q r r r r由于 Q的任意性。 ( * )x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r∴ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( * ) ( , , 。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r21 1 1 2 2 2 3 3 3( * ) 。對任意 Q ： 1 2 3 1 2 3( * ) ( ) ( , , 。） ),。則由譜表示定理（ ）式： 333222111 rrrrrrA ??? ???（如果有相等的特征值時，總存在三個相互正交的三個特 征方向。ij i j i i ij i j i i ij i j i iA A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A a i i i i A b i i i i A c i i i i1)( ??? cba∴ 1 1 2 3 2 3 2 31 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i i i i i i iI A A AA A A A A A tr? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A i i i i i i i i ii i i i i i i i i A2 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 3 2 2 3 111 22 1 2 3 21 12 2 1 3 22 33 1 2 3 32 23 1 3 211 22 11 33( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( 2 2 22i i j j i i j j i i j ji j i j i j i j i j i jI A A A A A AA A A A A AA A A A A A A AA A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i22 33 12 21 31 13 32 23211 22 33 11 11 22 22 33 33 12 21 31 13 32 232 2 2 21) ( 2 2 2 )21[ ( ) 2 2 2 ) ]21 1 1[ ( ) ] [ ( ) * : ] [ ( ) ]2 2 2ij jiA A A A A A A AA A A A A A A A A A A A A A At r A A t r t r t r? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A A A A將 I1(A) 、 I2(A)代入（ ）式得： 3 2 2 2 31( ) [ ( ) ] ( )2tr tr tr I? ? ? ? ?A A A A A A A I O兩邊取跡得： 3 2 2 231( ) ( ) [ ( ) ] 3 ( ) 02tr tr tr tr tr tr I? ? ? ? ?A A A A A A A∴ 3 3 23 1 1 1( ) ( ) ( )3