[理學(xué)]第四章矩陣分解-文庫吧資料
2025-01-25 15:15本頁面
【正文】 nU U U U????????????????如果令 121 1 1HnH U U????????????????122 2 2(HnH U U????????????????12U U U?從而有 其中 是半正定的 H矩陣， 是 酉矩陣。同時有 稱分解式 為矩陣 的 極分解表達(dá)式 。下面計算 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，解得分別與 5， 0， 0對應(yīng)的三個標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量 HAAA 5 HAA1 2 31 0 00 , 1 , 00 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?由這三個標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣 ，所以有 V1 0 00 1 00 0 1V???????????令 ，其中 ? ?12V V V?121 0 00 , 1 00 0 1VV? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?111111 0 0 1 502 0 0 250 5U A V??????? ????? ? ? ????????? ????????選取 ，使得 為酉矩陣。 1Ur12 2 2 1 2 121,H H HmrHU U I U U U A V OU A V O??? ? ? ???1 1 1 1()HHU A V U U? ? ? ?另外，有 由上述式子可得 ? ?11221 1 1 22 1 2 2HHHHHHHUU AV A V VUOU AV U AVOOU AV U AV??? ??????? ????????????這里，要注意 。 定理 設(shè) ， 是 的 個非 0奇異值，那么存在 階酉矩陣 和 階酉矩陣 使得 ( 0)mnrA C r???12 r? ? ?? ? ?A r mVnUH OU A VOO???? ????12( , , , ) .rd iag ? ? ???其中 將上式改寫為 ，稱之為 的 奇異值分解 。 , mnA B C ??VUHU AV B?A B例 求下列矩陣的奇異值 解 （ 1）由于 顯然 的特征值為 5， 0， 0，所以 的奇異值為 （ 2）由于 500000000HAA???????????HAA5 , 0 , 0 .A2004HAA ???????顯然 的特征值為 2， 4，所以 的奇異值為 。 注意：滿秩分解不唯一，即有 但是不同的分解形式之間有如下聯(lián)系： 定理 ：如果 均為矩陣 的滿秩分解，那么 （ 1） 存在矩陣 滿足 11A FG F G??ArrrBC??11 1,F F B G B G???A1( ) ( ) .A FG FD D G FG?? ? ?rrrDC ??11111 1 1 1 1 1( ) ( )( ) ( )H H H HH H H HG G G F F FG G G F F F?????（ 2） 定義 ：設(shè) ， 的特征值為 則稱 為矩陣 的 奇異值 。這樣存在 且滿足 A r Ar,m m n nmnP C Q C???? 00rIDPAQ ???????從而 ? ?1111000rrrIDA P QIP I D QFG???????????????????其中 例 分別求下面三個矩陣的滿秩分解 ? ?11,0r mrrrnrrIF P CG I D Q C???????? ??????1 2 1 0 1 21 2 2 1 3 3( 1 )2 4 3 1 4 54 8 6 2 8 10????????????0 1 0 1 1( 3 ) 0 2 0 1 10 3 0 2 2?????????????解 （ 1） 對此矩陣只實(shí)施初等行變換可以得到 0 0 1 2 3( 2 )0 0 2 4 6??????1 2 1 0 1 21 2 2 1 3 32 4 3 1 4 54 8 6 2 8 101 2 0 1 1 10 0 1 1 2 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0???????????????????????????由此可知 ，選取 ( ) 2R an k A ?42211122346FC???????????????2621 2 0 1 1 10 0 1 1 2 1GC ???????????（ 2） 對此矩陣只實(shí)施初等行變換可以得到 即 。 證明 ：假設(shè)矩陣 的前 個列向量是線性無關(guān)的，對矩陣 只實(shí)施初等行變換可以將其化成 A rA00rID??????A F G? A即存在 使得 于是有 其中 mmmPC??? ?10rrIA P I D F G?????????00rIDPA ???????? ?1 ,0r m r r nr r rIF P C G I D C? ? ???? ? ? ????? 如果 的前 列線性相關(guān)，那么只需對 作初等列變換使得前 個列是線性無關(guān)的。 下面考慮分解的唯一性。將矩陣 按列分塊得到 由于 ，所以 是線性無關(guān)的。 nnAC ??定理 設(shè) ，則 A可唯一分
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