【正文】 ???00 ?? ? 0? 定理 10 實對稱矩陣屬于不同的特征值的特 征向量必正交 . 證明： 設(shè) 是 A 的兩個不同的特征值， 分別是屬于 的特征向量： 于是 12,?? 12,??12,??1 1 1A ? ? ?? 2 2 2A ? ? ??? ?1 2 1 2, T? ? ? ??? ?1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2, ( ) ( )T T TA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ,T T T T TAA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?12,0?? ?因為 從而 推出 定理 11 對于任意一個 n級實對稱矩陣 A， 都存在一個 n級正交矩陣 T ,使得 成對角形 1T AT?1???11????1 1 1A ? ? ??(一） n=1時定理顯然成立 . (二 ) 假設(shè)定理對于 n1 成立 把 單位化 , 記為 證明 : 對 n 用歸納法 (1)對于 n 階實對稱矩陣 A ， 設(shè) 是矩陣 A 的一個特征值 , 對應(yīng)的特征向量是 1?? ?11 ,TS??S ( 1)nn??1?12, , , n? ? ?1?(2) 以 為第一列作一個正交矩陣 其中 為 矩陣 , 這是可行的 , 是線性無關(guān)的，把它們正交化 不妨設(shè) 中第一個分量不為零， 那么 單位化，得到一個正交矩陣，該矩陣的第一列 是 . 即為所求 ? ? ? ?? ?11 1 1 1 1 11 1 1111,TTTTTTTTT AT T AT S A SA ASASS A S ASS??? ? ????????????? ?????? ??(3) 1 1 1 1 1 1TTA? ? ? ? ? ???1 1 1 0TTS A S? ? ???因為 所以 1 1 1 11111110000TTTTTA AST ATS A S ASAS AS? ? ???????????????????????? ??1 TA S A S?1n?1n?2T2312 1 2nT A T?????????????????(4) 是一個 階實對稱矩陣 , 階正交矩陣 使得 利用歸納假設(shè) , 存在 321TT???????13T T T?1 1 1 1 13 1 1 3 3 1 1 312112 1 2()11nT A T T T A T T T T A T TT A T????? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????(5) 取 令 則 做題步驟 根據(jù)上面的討論，正交矩陣 T的求法就可以按以下步驟進行： 1） 求出 A的特征值。 先把它們正交化，得 )1,1,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),0,0,1,1(4321??????????? 再 單位化，得 ).1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(),1,31,31,31(),(),(),(),(),0,1,21,21(),(),(),0,0,1,1(33334222241111444222231111333111122211???????????????????????????????????????????????????????? ).21,21,21,21(),123,121,121,121(),0,62,61,61(432??????????),0,0,21,21(1 ??正交矩陣 ? 正交矩陣的定義 ? 正交矩陣的等價條件 我們引入 定義 9 n級實數(shù)矩陣 A稱為正交矩陣 ,如果 .TA A E?正交矩陣 等價命題 (1) )( ijaA ? TA A E?TA A E?1AA? ??????????.,0。例如，在平面上找不到三個兩兩垂直的非零向量；在空間中，找不到四個兩兩垂直的非零向量。這就證明了 是線性無關(guān)的 . 這個結(jié)果說明，在 中，兩兩正交的非零向量不能超過 n個。兩個非零向量正交的充分必要條件是它們的夾角為 . 由定義立即看出，只有零向量才與自己正交。 反過來，如果等號成立，由以上證明 過程可以看出，或者 ，或者 ??,0??,0),( ),( ?? ??? ???也就是說 線性相關(guān)。 以下設(shè) 。3).,(),)(39。 基本性質(zhì) : 定義中條件 1)表明內(nèi)積是對稱的。 011 ??? kka ?01 ??k? .01 ??ka121 , ?k??? ? 定理 4 如果 是矩陣 A 的不同的特 征值，而 是屬于特征值 的線性無關(guān) 的特征向量， ，那么向量組 也線性無關(guān) . k??? , 21 ?iiri ?? ,1 ? i?ki ,2,1 ??, 1111 ?? r??kkrk ?? ,1 ?證明 : 令 1 1 2 211 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 21 1 2 2 0mmr r r rm m m m m r m rk k k k k kk k k? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?11221 1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2 mmrrrrm m m m m m r m rk k kk k kk k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?12 0m? ? ?? ? ? ?12 0m? ? ?? ? ? ?則有 推出 從而得到所有的系數(shù) 0ijk ?定理 4 成立 根據(jù)這個定理，對于一個矩陣 A， 求出屬于每個特征值的線性無關(guān)的特征向量， 把它們合在一起還是線性無關(guān)的 . 定理 5 設(shè) A 是 n 階矩陣， A 可對角化的充分必要條件是， A 有 n個線性無關(guān)的特征向量 . 證明 必要性 : 如果矩陣 A 可以對角化 , 則存在可逆矩陣 T 使 矩陣可對角化的條件 121.nT A T D??????????????????? ?12 nT t t t? A T T D?設(shè) ，由 ? ? ? ?121 2 1 2nnnA t t t t t t????????????j j jA t t??1 , 2 , ,jn?推出 T12, nt t tA n因