第四章矩陣的特征值和特征向量-文庫吧資料
2025-07-27 03:41本頁面
【正文】 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??如 果 都 是 的 屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ，且 ＋ ， 則 ＋ 也 是 的 屬 于 的 特 征 向 量 ，即 ， 如 果 ＝ ， ＝ ， 則 （ ＋ ) ＝ +推 論).00AA??因 此 ， 的 屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 的 任 一 非 零 線 性組 合 仍 是 的 屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 .利用上述定理及推論可以得到求 A的全部特征值和特征向量的方法： 1 . d e t( )EA? ?計 算 特 征 多 項 式 ；12123 . ,.ssiiisisAc c cc c c?? ? ? ??? ? ?? ? ?1212i i iii對 的 每 一 個 特 征 值 求 對 應 的 齊 次 線 性 方 程 組（ EA ） X=0 的 一 個 基 礎 解 系 ， 則 A 的 屬 于的 全 部 特 征 向 量 為其 中 ， ， 是 全 為 零 的 任 意 常 數(shù)2.,?? ? ?1 2 n求 特 征 方 程 d e t ( E A ) = 0 的 所 有 根 ， 即 求 得 A 的 全 部特 征 值 （ 其 中 可 能 有 重 根 ） ；342.52A???????例 求 矩 陣 的 特 征 值 和 特 征 向 量解：矩陣 A的特征多項式為 34d e t ( ) ( 7) ( 2 )52EA?? ? ????? ? ? ? ???12de t( ) 0 2 , 7E A A? ? ?? ? ? ? ?由 可 得 的 特 征 值 為1122 , ( 2 ) 05 4 05 4 0E A Xxx? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???對 于 解 齊 次 線 性 方 程 組 ＝ ， 即 解－ －－ －21274 4 05 5 0xx?? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???對 于 ＝ ， 解 齊 次 線 性 方 程 組 (7EA)X ＝ 0. 求 解? ?222 2 21 , 1 , 7( 0 , )T Acc??????解 的 基 礎 解 系 于 是 的 屬 于 的 全 部特 征 向 量 為 常 數(shù)容易求得方程組的一個基礎解系 1 (4 , 5 )T? ??1 1 1 12 ( 0 ) .A c c??? ? ?于 是 ， 的 屬 于 的 全 部 特 征 向 量 為 常 數(shù)4.3242 0 2423AA???????????例 求 矩 陣 的 特 征 值 和 特 征 向 量 其 中解 矩陣 A的特征多項式 23 2 4de t ( ) 2 2 ( 1 ) ( 8 )4 2 3EA?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?23d e t( ) 0 , 1 , 8 .E A A? ? ? ?? ? ? ? ? ?1由 得 的 特 征 值2123TT111
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