[理學]ch7特征值與特征向量-文庫吧資料
2025-01-25 14:39本頁面
【正文】 ． 說明 如果 A的特征方程有重根，此時不一定有 n個線性無關的特征向量，從而矩陣 A不一定能對角化 . 但如果能找到 n個線性無關的特征向量， A還是能對角化． .)( 2個線性無關的特征向量有的充分必要條件是能對角化即與對角矩陣相似階矩陣定理nAAAn定理 互異特征值對應的各自線性無關的特征向量并 在一塊，所得的向量組仍然 線性無關。 則同線 性 無 關不證明 使設有常數(shù) mxxx , 21 ?1 1 2 2 0mmx p x p x p? ? ? ?用 A作用得即 1 1 2 212 0m mmx p x p x p? ? ?? ? ? ?二、特征值和特征向量的性質(zhì) 11 1 11 2212 m mmx p x p x p? ? ?? ? ?? ? ? ?即 ? ?1111221 1 2 21, , ,111mmmmmmmx p x p x p?????????????????? ?0,0,0 ??? ? ? ?1 1 2 2 0 , 0 , , 0 , , , mmx p x p x p ?,0?jp但 ? ?.,2,10 mjx j ???故., 21 線性無關所以向量組 mppp ?四、特征向量的性質(zhì) 定理 71P112 互異特征值對應的特征向量線性無關。 2A 2A則 為 的特征值． 推論５ m? mA 為 的特征值． 例 232???? 232E A A??若數(shù) λ 為可逆陣的 Ａ 的特征值， 則 為 的特征值． 推論 1?? 1A? 為 的特征值． ||A? *A 則 0為 A的特征值。 例： 方陣 A的每行元素的和為 3, 則 3為特征值。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?定義 方陣 Ａ 的主對角線上的元素之和稱為方陣 Ａ 的 跡 . 記為 ? ? iit r A a? ?4 1 10 0 0 4 0 1 34 1 1tr?????? ? ? ? ? ??????例如 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。n A? ? ? ?性質(zhì) 7－ 2 設ｎ階方陣 的特征值為 ? ?ijAa? 12, , , n? ? ?則 證明① 當 是 Ａ 的特征值時， Ａ 的特征多項 12, , , n? ? ?式可分解為 ? ?f EA? ?? ?? ? ? ? ? ?12 n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 21 11 1nn n n n? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??令 0,? ? 得 A? ? ? 121 n n? ? ???即 12 .n A? ? ? ?方陣 A可逆 A的特征值都不為零。nA E A? ? ? ???特 征 方 程 的 全 部 根 就 是 的 全 部 特 征 值? ?3 . , 0 , .iiiA E x?????對 于 特 征 值 求 齊 次 方 程 組 的 非 零 解就 是 對 應 于 的 特 征 向 量小結 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。 ( ) 0f ? ?的根稱為 Ａ 的 特征值 . ( ) 0f ? ?解 例 1 .31 13 的特征值和特征向量求 ?????????A的特征多項式為A3113?????2 1( 3 )????)2)(4(68 2 ???? ??????.4,2 21 ?? ??的特征值為所以 A()f E A????定義 Ａ 為ｎ階方陣 ,λ 為特征值， ? 為ｎ維非零向量， ( 0)AA E?? ? ? ??? ? ?若 則 ? 稱為 Ａ 的對應特征值 λ的 特征向量 ． 解 例 1 .31 13 的特征值和特征向量求 ?????????A12 2 , ????的 特 征 值 為111222,3 2 1 0,1 3 2( 2 )0AE xx? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??當 時 對 應 的 特 征 向 量 應 滿 足121 1kxx?? ????? ??????解 得1 11 2 .1p?????????所 以 對 應 的 特 征 向 量 可 取 為矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值的 ,001111,00431143,421212???????????????????????????????????????????????xxxx即由時當 ?1 2 22,41 .1xxp?? ? ????? ????解 得 所 以 對 應 的 特 征 向 量 可 取 為事實 : 階上三角陣 n12***nabcA????????????12, , , .nn ? ? ?的 個 特 征 值 是則 和 有相同的特征值． 性質(zhì) 76 TA A例３ 設 ,314020112?????????????A
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