矩陣的特征值與特征向量畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2024-09-03 09:48本頁(yè)面
【正文】 列 以 如 下 被 以 遞 歸 的 方 法 定 義 ：),2(,1,0 2110 ??????? ?? NnnFFFFF nnn，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)從 1960年起出版了《斐波那契數(shù)列》季刊，專(zhuān)門(mén)刊載這方面的研究成果。 3 矩陣的特征值與特征向量的舉例應(yīng)用 上面幾章已經(jīng)對(duì)矩陣的特征值與特征向量的理論知識(shí)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，現(xiàn)在我們要解矩陣的特征值與特征向量 邵陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 決的是怎樣將理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中去，以達(dá)到學(xué)以致用的效果。 解 : 特征值為 13,2,1 ?? （三重根）， 34 ??? 。 解 : ???????????????????????1100102001001110001120200000101134123412rrrrrrrr ????????????????????110010200100011011110030000100112442rrrr 矩陣的特征值與特征向量 邵陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 ???????????????????? ?? ???11001023001000143011110030000100431423222214141rrrrrr ?????????????????????? ?? ???21212121100041434141010011110030414141430001242321214141rrrrrr ???????????????????? ??11111111131111133000010000100001 所以，特征值分別為 3,1 4321 ????? ???? ； 特征向量分別為 ? ? ? ?? ? ? ?。 定理 1 n 階矩陣 A的特征矩陣 )( AE?? 經(jīng)列的初等變換可成為下三角矩陣： ????????????????????）（）（n21d0)(d00d~)AE(??????? () 其中 )(),(),( 21 ??? nddd ?的根就是 A 的特征多項(xiàng)式 AEf ?? ??)( 的根。 求實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是矩陣的一種特殊形式，我們?cè)趯W(xué)矩陣的時(shí)候已經(jīng)學(xué)會(huì)怎樣求解矩陣的特征值與特征向量。 定理 4 設(shè) A 為 n 階對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣 P ，使 BAPP ??1 ，其中 B 是 以 A 的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。 證明 設(shè) 21,?? 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，即 2121 , ????? 是分別屬于21,?? 的特征向量，則 222111 , ?????? ?? AA ， 根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有 ),(),(),( 21121121 ???????? ??A 矩陣的特征值與特征向量 邵陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 又 ),( AA)A(),A( 21222T1 2T12TT12T121??????????????????? 所以 ,0),)(( 2121 ?? ???? 因 21 ??? ， 故 0),( 21 ??? ， 即 1? 與 2? 正交 。 定理 1 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值恒為實(shí)數(shù) ， 從而它的特征向量都可取為實(shí)向量 。 當(dāng) 1?? 時(shí)， ? ?? ????????????????????????????????12101011001001100111QG ， 特征向量????????????1012 。 解： ???????? ?? EAE= ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11101010011210011101000011211011000100011101111122??????????????? 矩陣的特征值與特征向量 邵陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 ? ? ? ?? ??????????????????????????????????????????????????????QG11111021011011001222 由 知 0)1( 2 ???? ， A 的特征根 1,0 321 ??? ??? 。 如何求矩陣 Q ，從而得到 2Q ，從上面的證明過(guò)程可以看出，需要進(jìn)行如下計(jì)算： 因矩陣 A 的秩為 r ， A 有 r 列線性無(wú)關(guān)向量組，于是矩陣 )E,A( n 經(jīng)一系列的初等變換成為 ???????? ? 21rm 0P ，其中秩 rP? ,由此便得到 2Q 。 從而 02?AQ 即 Q 的后 rn? 列，即 2Q 的諸列為方程組 0?AX 的列向量。 當(dāng) 2?? 時(shí)， (A－ λE)已是標(biāo)準(zhǔn)上三角形矩陣，由 定理 2 得 ???????????000010001)2(B 得特征向量 ? ?T1001 ??? , 當(dāng) 1?? 時(shí)，???????????000210101)1(B ， 同理，特征向量為 ? ?T1212 ??? 矩陣的特征值與特征向量 邵陽(yáng)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 初等變換法 定理 3 齊次線性方程組 0?? XA nm 的系數(shù)矩陣 A 的秩數(shù) nr? ，非奇異矩陣 nnQ? 的后 nr 列便構(gòu)成線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 例 l 求 ??????? 25 61A的特征值與特征向量． 解： ? ? ???????? ????????????? 1046 11071026 0151 12 212 rr rrEA T ???????? ??????????? ????? 5640 1107111 1111511640 1107116 116 2221 12 rrrr rr 所以，特征值 4,7 21 ??? ?? ,特征向量分別為 ? ? ? ?TT 56,11 21 ??? ?? 。 定理 1 設(shè) ? 是秩為 r 的 mn? 階矩陣，且 ?????? ???? ???????? ?? ???? )rm(m )rm(rnrnm mn POBEA 列初等變換 其中 B是秩為 r 的列滿(mǎn)秩矩陣，則矩陣 P所含的 rm 個(gè)列向量就是齊次線性方程組
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