【正文】 0 0 1 0 06 0 36 6 36 00 0 1 0 1 00 1 1 0 1 11 1 6 1 6 1. 所以對應(yīng)于 ??4 的特征向量為 ? ?, T? ?2 011 . 這里用初等列變換的方法同時求出來矩陣的特征值與特 征向量，完全類似地，利用初等行變換也可以實現(xiàn)這一過程，其方法如下： (1) 對矩陣 ? ?TI A I??????施行初等行變換將其化為矩陣 ? ? ? ?UP??????，其中王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 14 ? ?U? 為含有 ? 的上三角矩陣， ? ?P? 為 I 經(jīng)過初等變換得到的矩陣； (2) 由行列 式 ()U? ?0 求得矩陣 A 的特征值 ? ?, , ,in?12 ； (3) 將 ? ?, , ,i in? ?12 代入 ? ? ? ?UP??????中，若 ? ?iU? 不是行標(biāo)準(zhǔn)形， 則通過初等行變換將其化為行標(biāo)準(zhǔn)型，并記秩 ? ?? ?ir U r? ? ， 則 ? ?iP? 中的后 nr? 個行向量的轉(zhuǎn)置就是 i? 對應(yīng)的特征向量． 例 征值與特征向量 . 解 ：因為特征矩陣 IA ??????????? ? ? ? ?????1 3 33 5 36 6 4，所以 ? ? TI A I????? ? ???????? ? ???? ? ???1 3 6 1 0 03 5 6 0 1 03 3 4 0 0 1 ? ? ? ?rr????? ? ?????????? ?? ? ???133 3 4 0 0 13 5 6 0 1 01 3 6 1 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?rrrr ??? ? ???????? 213 1 1 3???? ? ??????? ? ???? ? ?????23 3 4 0 0 10 2 2 0 1 15 14 10 2 1 033 ? ? ? ?32rr??????? ? ? ?UP?? ? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ? ????? ? ???23 3 4 0 0 10 2 2 0 1 12 8 20 0 1 133 從而由 ? ? 0U ? ? 即 ? ?? ?? ? ?? ? ? ?22 2 8 0求得 A 的特征值為 ???2 （二重）和 ??4 . 當(dāng) ???2 時， ? ? ? ?UP?? ??????????????3 3 6 0 0 10 0 0 0 1 10 0 0 1 1 0，所以 ? ?? ?rU??21，且 ? ?2P? 的 后 兩 行 的 轉(zhuǎn) 置 即 為 ???2 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 ， 即安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 15 ? ? ? ?, , , , ,TT????120 1 1 1 1 0. 當(dāng) ??4 時， ? ? ? ?UP?? ?????????????3 3 0 0 0 10 6 6 0 1 10 0 0 1 1 2，所以 ? ?? ?42rU ? ，且??4P 的最后一行的轉(zhuǎn)置即為 ??4 對應(yīng)的特征向量，即 ? ?3 1,1, 2 T? ? . 第 3 章 特征值與特征向量的基礎(chǔ)應(yīng)用 特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用 用特征值和特征向量對一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論 . 設(shè) K 階線性循環(huán)數(shù)列 ??nx 滿足遞推關(guān)系： ? ?, ,n n n k n kx a x a x a x n k k? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 12 其中 ? ?, , ,ia i k??12 是常數(shù)，且 ka?0 ， 方程組 1 1 2 2 ,112211n n n k n knnnnn k n kx a x a x a xxxxxxx? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ?????????? 可表示為矩陣形式 n kknnnnnknkx a a a axxxxxx?????????? ?????? ?????????? ????? ??????????????1 2 1112211 0 0 00 1 0 00 0 1 0 （ 1） 令 ,nnkknnn k n n knknkxxa a a axxxAxx??????? ? ? ??????????????????????? ? ????????????? ??????11 2 1121211 0 0 00 0 1 0 則（ 1）可寫成： 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 16 1n k n kA??? ? ?? （ 2） 由（ 2）式遞推得 21 1 1nkn k n kAA? ? ??? ? ? ?? ? ?，其中 ? ?1 1 2 1, , , , Tkkx x x x? ?? ，于是求通項 nx 就歸結(jié)為求 1nk??? ，也就是求 nkA? . 如果 A 可對角化，即存在可逆矩陣 P ，使得 1P AP A? ? ，則 1n k n kA PA P? ? ?? ，由于 1 2 11 0 00 1 0 00 0 1kka a a aEA?????? ? ? ???? ?? 從第一列開始每一列乘以 ? 加到后一列上，就得到如下的矩陣： k k k kk k ka a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????2 1 2 11 1 2 1 1 1 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0 111kk kka a a? ? ?? ?? ? ? ? ? 若 ? 是 A 的特征值，顯然有 ? ? 1R E A k? ? ? ?，則線性齊次方程組? ? 0E A X? ??的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量，因此當(dāng) A 有 k 個特征值12, , , k? ? ? 時，這 k 個特征值對應(yīng)的特征向量分別為 12, , , kP P P ，由這 k 個特征向量為列構(gòu)成的方陣記為 P ，則 P 是可逆的，并且 1P AP A? ? .其中 12000000 nA???????????? 例 設(shè)數(shù)列 ??nx 滿足遞推關(guān)系： ? ?n n n nx x x x n? ? ?? ? ? ?1 2 32 2 4，并且,x x x? ? ? ?1 2 31 2 3，求通項 nx . 解： ??nx 是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組 n n n nnnnnx x x xxxxx? ? ?????? ? ????????1 2 3112222 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 17 用矩陣表示為： nnxx????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?112232 1 21 0 00 1 0，令 A ??????????2 1 21 0 00 1 0 并由上式遞推得 n n nnn n nn n nx x x xx A x A x A xx x x x???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3231 2 3 22 3 4 1 其中 ,x x x? ? ? ?1 2 31 2 3 由 EA? ??0 ，即 ?? ? ? ????? ? ? ? ? ??322 1 21 0 2 2 001 得 A 的特征值為： ,? ? ?? ? ? ?1 2 31 1 2 再由特征方程 ? ? ? ?,i E A X i? ? ? ?0 1 2 3解得對應(yīng)于 A 的特征值 1 2 3,?? ? 的特征向量分別為： ,P P P? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 31 1 41 1 21 1 1 令： ? ?P P P P ????? ? ?????1 2 31 1 41 1 21 1 1 則 ,P A P P???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?113 3 6 1 0 011 3 2 0 1 062 0 2 0 0 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?n n nnnnn n nn n nn n nA P P? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???3 3 332 2 23 1 1 13 1 3223 1 2 3 3 1 6 2 1 210010 1 0 3 1 2 3 3 1 6 2 1 260 0 23 1 2 3 3 1 6 2 1 2 代入（ 2）式得： ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?n n nnnnx x x x? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3 33 2 11 3 1 2 3 3 1 6 2 1 26 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 18 ? ? ? ?nnnn??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 33111 3 1 1 29 1 1 1 2 1 26 2 6 3 例 計算 n 階行列式 nD ?6 11 6 0 0 0 01 6 11 6 0 0 00 1 6 11 6 0 00 0 0 0 0 6 110 0 0 0 0 1 6 解： 將 nD 按第一行 展開得： nnD D M M?? ? ?1 12 136 11 6 其中 12M 與 13M 分別是元素 12a 和 13a 的余子式，再將它們分別按第一列展開得： n n n nD D D D? ? ?? ? ?1 2 36 11 6 則 ? ?nD 是三階線性循環(huán)數(shù)列 . 將方程組 n n n nnnnnD D D DDDDD? ? ?????? ? ????????1 2 311226 11 6 表示成矩陣形式為： nnDD ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?112236 11 6100010令 A ????????6 11 6100010 由上式遞推得： 1 2 3231 2 3 22 3 4 1n n nnn n nn n nD D D DD A D A D A DD D D D???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ 3） 由 0EA? ??解得 A 的特征值為 ,? ? ?? ? ?1 2 31 2 3，再由特征方程? ? 0iE A X? ??， ? ?,i?123 解得對應(yīng)于 A 的特征值 1 2 3,?? ? 的特征向量分別為： ,P P P? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 31 4 91 2 31 1 1 令 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 19 ? ?P P P P ??????????1 2 31 4 91 2 31 1 1 則 ,P A P P????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?