【正文】 xP?1 0 ，即 x 的分量滿足 x x x? ? ?1 2 3 3 的重數(shù)為 2，所以對應(yīng)于 3 恰有兩個線性無關(guān)的特征向量，顯然 x x x? ? ?1 2 3 0的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于 3 的兩個線性無關(guān)的特征向量 . 由 x x x? ? ?1 2 3 0得它的一個基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?, , , , ,TTPP? ? ? ?121 1 0 1 0 1. 令 ? ?,P P P P ??????????1 2 31111 1 01。 (2) 1A? 。1, , , nf x x x 為 ? ?12, , , ny f x x x? 最大（或最小）值 . 特征值法原理 定理 1 二次型 ? ?11nnij i j ij jiij a x x a a?? ???在條件 ? ?21 0nii x c c? ???下的最大值（最小值）恰是其實數(shù)特征值中最大值（最小值）的 c 倍 . 證明 ：利用拉格朗日數(shù)乘法，先作拉格朗日函數(shù) ? ? 212 1 1 1, , , n n nn i j i j ii j iL x x x a x x x c?? ? ???? ? ?????? ? ?， 其中： ? 為參數(shù)，再令其關(guān)于 12, , , nx x x 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得 ? ?? ?? ?nj j n njnj j n njnn j j n n n n n njnLa x x a x a x a xxLa x x a x a x a xxLa x x a x a x a xx???????????? ? ? ? ? ? ? ????????? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ??????? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ???????1 1 1 1 1 1 2 2 1112 2 2 1 1 2 2 2 2121 1 2 212 2 2 02 2 2 02 2 2 0 （ 1） 由于 ij jiaa? ，所以（ 1）可化為nnn n nn na a a xa a a xa a a x????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?11 12 1 112 22 2 2120 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 21 （ 2）這是一個齊次線性方程組由于 ? ?nii x c c? ??? 21 0，所以 12, , , nx x x 不全為 0，從而（ 2）有非零解，即該方程的系數(shù)行列式為 0，于是 nnn n nna a aa a aa a a?????????????11 12 112 22 2120， （ 3） 所以 ? 是11nnij i jija x x????系數(shù)矩陣的特征值 . 又依次用 12, , , nx x x 分別乘（ 1）再相加得in n nij i ji j ia x x x?? ? ?????????? ? ? 21 1 1 0，又21 ini xc? ??，因此11nnij i jij a x x c??? ???. 特別地，二次型11nnij i jija x x????在條件ini x? ??21 1下的最大值（最小值）恰是二次型11nnij i jija x x????實特征值中的最大值（最小值） . 定理 2 二次型 21 ini x??在條件 ? ?11 ,0nni j i j i j j iij a x x k a a k?? ? ? ???下的最大值（最小值）是二次型11nnij i jija x x????正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）的 k 倍；當(dāng)特征值為 0 時， 21 ini x??在條件 ? ?,nni j i j i j j iij a x x k a a k?? ? ? ???11 0下沒有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值倒數(shù)的 k 倍 . 證明： 作拉格朗日函數(shù) ? ?, , , n n nn i i j i ji i jL x x x x a x x k?? ? ???? ? ?????? ? ?212 1 1 11，令其關(guān)于 12, , , nx x x 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 22 ? ?? ?? ?nj j n njnj j n njnn n j j n n n n njnLx a x a x a x a xxLx a x a x a x a xxLx a x a x a x a xx??????????????? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???????1 1 1 1 1 1 2 2 1112 2 2 1 1 2 2 2 2121 1 2 212220222220， （ 4） 接下來證明參見定理 1，直到 ? 是11nnij i jija x x????系數(shù)矩陣的特征值 .再用 12, , , nx x x分 別 乘 （ 4 ） 再 相 加 得in n nij i ji j ia x x x?? ? ???? ? ? 21 1 1 0，又由于? ?,nn i j i j i j j iij a x x k a a k?? ? ? ???11 0，因此， ? ?n ii kx ??? ??? 21 0. 由于 , nii kkx????? 210隨正數(shù)特征值 ? 的減小而增大，且當(dāng) ??0 時， k? 的極限不存在，所以 21nii kx ?? ??不存在最大值，而其最小值則是最大整數(shù) 特征值倒數(shù)的 k 倍，證畢 . 特別地，二次型 21nii x??在條件 ? ?,nni j i j i j j iij a x x a a k?? ? ? ???11 10下的最大值（最小值）是二次型11nnij i jija x x????正特征值倒數(shù)中的最大值（最小值） . 特征值方法的求解步驟 ： 根據(jù)定理 1 和定理 2，只要知道二次型11nnij i jija x x????的特征值 ? ，就可以知道11nnij i jija x x????或者 21 ini x??在特定條件下的最大和最小值了，因此應(yīng)用特征值方法求解二次型條件最值問題是方便的，其步驟可歸結(jié)為： （ 1）判定問題確實屬于定理所描述的二次型條件最值問題； （ 2）求二次型11nnij i jija x x????的特征值； 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 23 （ 3）根據(jù)定理寫出二次型11nnij i jija x x????或者 21 ini x??在特定條件下的最大和最小值 . 應(yīng)用舉例 例 求 x y x y x z y z? ? ? ?222 5 4 4 8在 x y z? ? ?2 2 2 7時的最值 . 解： 二次型 x y x y x z y z? ? ? ?222 5 4 4 8的特征方程為 ?????? ? ?? ? ?2 2 22 5 4 02 4 5 解得特征值為 10,1,1 ， 根 據(jù)定 理 1 可知， x y x y x z y z? ? ? ?222 5 4 4 8在x y z? ? ?2 2 2 7時的最大和最小值分別為 70 和 7. 例 x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2在 x y z? ? ?2 2 2 5時的最值 . 解： 二次型 x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2的特征方程為 ???? ? ?? ? ? ?? ? ?2 1 11 2 1 01 1 2， 的特征值為 3,3,0，根據(jù)定理 1 可知， x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2在x y z? ? ?2 2 2 5時的最大值和最小值 0 和 15. 例 求 2 2 2x y z??在 x y z x y x z y z? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2 5時的最值 . 解： 二次型 x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2的特征方程為 ???? ? ?? ? ? ?? ? ?2 1 11 2 1 01 1 2 的特征值為 3,3,0 ，根據(jù)定理 2 可 知 ， 2 2 2x y z?? 在x y z x y x z y z? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2 5是的最小值為 53 ，最大值不存在 . 特征值與特征向量在矩陣運算中的作用 特征值與特征向量在矩陣運算中使用的性質(zhì) 性質(zhì) A 為 n 階方陣， 12, , , n? ? ? 為 A 的 n 個特征值，則 12 nA ?? ?? . 性質(zhì) A 可逆 ? A 的 n 個特征值都不為零 . 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 24 性質(zhì) ? 為方陣 A 的特征值， ? ?A? 為 A 的多項式，則 ????為 ? ?A? 的特征值 . 性質(zhì) 4. ? 不為方陣 A 的特征值 ? 0AE???. 性質(zhì) 5.（凱萊 —— 哈密頓定理）設(shè) A 的特征多項式為? ? 111nn nnf a a a? ? ? ?? ?? ? ? ? ?，則 ? ? 111 nnf A A a A a A a? ?? ? ? ? ?. 性質(zhì) n 階方陣 A 的 n 個特征值為 12, , , n? ? ? ，且 12, , , nP P P 為對應(yīng)的 n個線性無關(guān)的特征向量，記 ? ?12, , , nP P P P? ，則 121nP AP?????????????. 性質(zhì) A 為 n 階實對稱矩陣， 12, , , n? ? ? 是它的 n 個特征值，則 （ 1） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都大于零時， A 正定； （ 2） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都小于零時， A 負(fù)定； （ 3） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都非負(fù)，但至少一個等于零時， A 是半正定； （ 4） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都非正，但至少一個等于零時， A 是半負(fù)定； （ 5） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)時， A 是不定的 . 特征值與特征向量在矩陣運算中的應(yīng)用 （ 1） .求方陣 A 的行列式 A 以及 A 的多項式 ? ?A? 的行列式 ? ?A? . 例 A 的特征值為 1， 1,2，設(shè) ? ? 325A A A? ??，求 (1) A ； (2) ? ?A? 。 39。 39。1 2 1, , , , , ,nnf x x x f x x x?（或 ? ? ?239。 39。 39。, , , , , , , , , , , , , , , ,nniinF x x x i m m nx i n y f x x x f x x x i m m n? ? ?? ? ? ? ? ?2211 2 1011 0 1 所以，由 ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?24 4 4 0得矩陣 A 的特征值為 ,? ? ?? ? ? ?1 2 324. 將 ???1 2 代入，得 ? ?? ?LQ????????????? ?? ?????? ????????111001 6 00 6 0001011110. 所 以對應(yīng)于 ???2 的特征向量為 ? ?, T? ?1 110 ( 此處二重特征值只對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量 ). 將 ??3 4 代入，得 ? ?? ?? ? ? ?ccLQ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?23331 0 0 1 0 01