求矩陣特征值的數(shù)值方法和習(xí)題(參考版)
2025-05-14 05:49本頁(yè)面
【正文】 令???????????????5111321206 IAB，取0 111? ( , , )Tz，由反冪法迭代公式 1 1 2 3?? ? ? ?, ma x ( ) , , , , .. .. ..kk k k k kkyB y z m y z km 進(jìn)行迭代計(jì)算： 40 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 yk mk zk 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 A 的特征值近似為 16 7 2 8 8 20 7 7 6 3 ..??，對(duì)應(yīng)的特征向量為1 0 0 0 0 0 5 2 3 0 2 4 2 2( . , . , . ) T。 38 3 用冪法求矩陣?????????????133364343A的主特征值及其對(duì)應(yīng) 的特征向量。 37 2 設(shè) )( ijaA ? 的特征值 ), .. .,2,1(0 nii ??? ， 1? 是最大特征 （ 2 ）由于i?是矩陣 A 的特征值，所以存在0iu ?使i i iA u u??，于是kki i iA u u??，因此ki?是 kA 關(guān)于特征向量iu的一個(gè)特征值，所以1()nkkiiTr A ??? ?，由于1?是 A 的最大特征值，所以1)(l i m ????k kkATr。 36 2 設(shè))( ijaA ?的特征值), .. .,2,1(0 nii ???，1?是最大特征值，???niiiaATr1)(，求證 ： （ 1 ）由于i?是矩陣 A 的特征值，所以 )) .. .()(( 21 nAI ??????? ?????， 比較兩邊 1?n? 的系數(shù)得到???niiATr1)( ?。 35 （ 3 ） 如果 A 非奇異，則 1?? 是 1?A 的關(guān)于特征向量 x 的一個(gè)特征值。 （ 2 ） ?? ? 是 IA ?? 的關(guān)于特征向量 x 的一個(gè)特征值 。 34 1 設(shè)?,nnRA ??是 A 的一個(gè)特征值， x 是 A 的對(duì)應(yīng)于 ? 的特征向量，求證： （ 1 ） ?? 是 A? 的關(guān)于特征向量 x 的 一個(gè)特征值。 （ 2 ）?? ?是IA ??的關(guān)于特征向量x的一個(gè)特征值。 這里， 1? ???kiim，即 1???? lim??iik km． 根據(jù)前面的討論，可知最大特征值與次大特征值之比21??越小，收斂越快．對(duì)于反冪法則是最小與次小特征值之比． 30 例 3 ．用反冪法求例 1 中矩陣的在 2. 7 附近的特征值 解：取初始向量( 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) Tz ?，由迭代格式 ? ?127?? ?????? ??( ) ( )()( ) ( ).m a x ( )/kkkkkkkA I y zmyz y m， 迭代計(jì)算得 31 k 0 1 2 3 4 5 ky mk 1 0 .7755 1 1 1 1 1 1 kz 1 特征值12 7 2 7 1 7 55 7 2 3 5.. .i? ? ? ?, 相應(yīng)特征向量 ? ?0 7 7 5 5 1 0 5 7 4?? . , , .Tx。 25 例 2 ． 用反冪法求例 1 中矩陣的按模最小特征值 ． 解：取初始向量( 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) Tz ?，由迭代格式 112?? ??
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