求矩陣特征值的數(shù)值方法和習(xí)題(已修改)
2025-05-26 05:49 本頁面
【正文】 1 第七章 求矩陣特征值的數(shù)值方法 2 定義 1 設(shè) ,)(nnijaA ??如果 AA T ? ，則稱 A 為 對(duì)稱矩陣 。 定義 2 設(shè)nnij RaA??? )(是對(duì)稱矩陣，且對(duì),0nx R x? ? ?， 都有 ,10nTij i jijx A x a x x????， 則稱 A 為 正定矩陣 。 預(yù)備知識(shí) 3 定理 1 ． 設(shè)nnij RaA??? )(，則下列條件等價(jià) （ 1 ） A 為正定矩陣。 （ 2 ） A 的所有特征值都是正數(shù)。 （ 3 ） A 的各階順序主子式均大于零。 定義 3 ． 設(shè) nnij CaA ??? )(，且 IAA T ? ，則稱 A 為 正交矩陣 。 4 定理 2 ．關(guān)于正交矩陣有如下結(jié)論 （ 1 ）單位矩陣是正交矩陣。 （ 2 ）若 A 為正交矩陣，則 TAA ?? 1 。 （ 3 ）若 A 為正交矩陣，則 TA 也是正交矩陣。 （ 4 ）若 A 為正交矩陣，則1?A或1??A。 （ 5 ）若BA ,為同階正交矩陣，則 AB 與 BA 也是正交矩陣 。 5 定理 3 ． ? 為方陣 A 的特征值 ， 則 ? 是方程 0IA? ?? 的根 ． 注．顯然，若 ? 為方陣 A 的特征值，則存在向量 0?x ，使得：?A x x? ，即齊次線性方程組 ? ? 0??I A x? 有非零解．所以系數(shù)行列式0IA? ??．同時(shí)可知，屬于 ? 的特征向量是? ? 0??I A x?的非零解． 6 定理 4 ． ? 為方陣 A 的特征值 ， ? ?Pt 是一個(gè)多項(xiàng)式，則 ? ?P ? 是 證明：設(shè) ? ?11 1 0......mmmmP t a t a t a t a??? ? ? ? ?， x 是屬于 ? 的 特征向量．則： ? ? 11 1 0......mmmmP A a A a A a A a I??? ? ? ? ?， ? ? 11 1 0??? ? ? ? ?......mmmmP A x a A x a A x a Ax a x 11 1 0??? ? ? ? ?......mmmma x a x a x a x? ? ?? ?Px ?? 即， ? ?P ? 是 ? ?PA 的一個(gè)特征值 ? ?PA 的一個(gè)特征值 ． 7 定理 5 ． ? 為方陣 A 的特征值，若12,xx都是屬于 ? 的特征向量，則： ? ?1 1 2 2 1 2 0? ? ?a x a x a a 也是屬于 ? 的特征向量． 證明： ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2? ? ? ? ?A a x a x a Ax a Ax a x a x?， 所以．1 1 2 2?a x a x是屬于 ? 的特征向量． 8 2 ．冪法 冪法是計(jì)算實(shí)矩陣按模最大的特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量的一種迭代方法，主要適用于中小型矩陣和大型稀疏矩陣。 設(shè) n 階矩陣 A=)( ija有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量12, , ..., nx x x，對(duì) 應(yīng) 的 特 征 值 分 別 是n??? , .. . , 21， 按 模 排 列 為n??? ??? . ..21，稱1?為矩陣 A 的 主特征值 。 9 對(duì)于任何初始向量0z，構(gòu)造迭代序列：? ?21 2 0??? ? ? ?... kk k kz Az A z A z， 又設(shè)0 1 1 2 2 ... nnz a x a x a x? ? ? ?， ( 1 , 2 , .. ., )j j jA x x j n???， 因此有：1 1 12 1????? ????? ()njkkk j jjz a x a x???。 所以 ,kz漸近于特征方向 , 但是 kz可能無限增長(zhǎng)或收斂于零． 10 例如，矩陣????????????201011102A，取0 1 0 1? ( , , ) Tz，利用上述方法計(jì)
畢業(yè)設(shè)計(jì)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1