【正文】 安徽工程大學 畢業(yè)設計（論文 ） 1 引言 眾所周知 ， 矩陣理論在歷史上至少可以追溯到 Sylvester 與 Cayley， 特別是 Cayley1858 年的工作 。 自從 Cayley 建立矩陣的運算以來 ， 矩陣理論便迅速發(fā)展起來 ， 矩陣理論已是高等代數(shù)的重要組成部分 。 近代數(shù)學的一些學科 ， 如代數(shù)結(jié)構(gòu)理論與泛函分析可以在矩陣理論中尋找它們的根源 。 另一方面 ， 作為一種基本工具 ， 矩陣理論在應用數(shù)學與工程技術(shù)學科 ， 如微分方程、概率統(tǒng)計、最優(yōu)化、運籌學、計算數(shù)學、控制論與系統(tǒng)理論等方面有著廣泛的應用 。 同時 ， 這些學科的發(fā)展反過來又極大地促進了矩陣理論的發(fā)展 。 特征值與特征向量是 矩陣理論中既具有基本理論意義 ， 又具有重要應用價值的知識 ， 與矩陣理論的其它知識也有著密切的聯(lián)系 。 可以說 ， 特征值與特征向量問題是矩陣理論的基本核心問題 。 因此 ， 掌握這方面的知識對于培養(yǎng)新的高素質(zhì)科技人才來說是必備的非常重要的 。 矩陣是高等代數(shù)課程的一個基本概念是研究高等代數(shù)的基本工具。線性空間、線性變換等 ，都是以矩陣作為手段， 由此演繹出豐富多彩的理論畫卷 。 求解矩陣的特征值和特征向量 ， 是高等數(shù)學中經(jīng)常碰到的問題。一般的線性代數(shù)教材中 ， 都是先計算特征多項式 ， 然后求得特征值 ， 再通過解線性方程組得到對應的特征向量。特征多 項式和特征根在整個矩陣理論體系中具有舉足輕重的作用 ， 并且在于生活現(xiàn)實中的應用也很廣泛。 “特征”一詞來自 德語 的 eigen，由 希爾伯特 在 1904 年首先在這個意義下使用（ 亥爾姆霍爾茲 在更早的時候也在類似意義下使用過這一概念）。 eigen 一詞可翻譯為“自身的”，“特定于 ...的”，“有特征的”或者“個體的”，這強調(diào)了特征值對于定義特定的變換上是很重要的。 矩陣特征值是高等代數(shù)研究的中心問題之一 ， 也是碩士研究生招生考試的熱點 .而且在自然科學（如物理學、控制論、彈性力學、圖論等）和工程應用（如結(jié)構(gòu)設計、振動系統(tǒng)、矩陣對策）的研究中也同樣離不開矩陣特征值問題 ,因而對其研究具有重要的理論和應用價值 。 隨著計算機的迅速發(fā)展 ， 現(xiàn)代社會的進步和科技的突飛猛進 ， 高等代數(shù) 作為一門基礎的工具學科已經(jīng)向一切領域滲透 ， 它 的作用越來越為世人所重視 。 在多數(shù)高等代數(shù)教材中 ， 特征值與特征向量描述為線性空間中線性變換的特征值與特征向量 ； 而在大部分線性代數(shù)教材中 ,特征值與特征向量的討 論被作為矩陣理論研究的一個重要組成 。 矩陣的特征值應用于生活中的，為生活各類問題解決，創(chuàng)建有效的數(shù)學模型提供了有效的工具，為解決問題提供有效的方法。矩陣的特征值與特征向量是數(shù)學與其它科學研究的基礎和工具。學習和研究數(shù)學，聯(lián)系實際，通過數(shù)學的工具來解決生活上問題。離開數(shù)學別的科學研究是寸步難行的，所以我們必須重視數(shù)學，深入研究矩陣特征值與特征向量，從而促進所有科學的發(fā)展。 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應用 2 第 1 章 緒論 研究背景 及意義 矩陣是數(shù)學中重要的 一個 基本概念 之一 ， 是代數(shù)中 的一個主要研究對象 ， 也是數(shù)學研究和應用的一個 極其 重 要 的 工具 。 矩陣特征值與特征向量問題是矩陣理論 中 的重要組成部分，它在高等代數(shù) 與 其他科技領域中占有 非常 重要的位置 。 同時它又貫穿了高等代數(shù) 中 的 方 方 面面 ， 對 該課題的研究加深了我們對高等代數(shù) 中各個部分的認識，從而使我們 能 更深刻的了解高等代數(shù) 中 的相關理論 。 對矩陣特征值與特征向量理論研究 及其應用探究 ， 不 僅僅 提高高等代數(shù)以及相關課程的理解有很大 的 幫助，而且在理論上也 非常 重要，可以直接用 它 來解決實際問題 .現(xiàn)在矩陣已成為獨立的一 個 數(shù)學分支，矩陣 的 特征值與特征向量的應用是 體現(xiàn)在 多方面的，不 僅僅 在數(shù)學領域里， 而且在力學、物理、科技 方面都有十分廣泛的應用 。 研究現(xiàn)狀 在此之前已有很多專家學者 都 涉足此領域研究該問題 。 湯正華 在 2021年發(fā)表的 《 關于矩陣的特征值與特征向量的探討 》 討論了矩陣的特征值與特征向量的定義、性質(zhì)；特征值與特征向量的求法等問題。李延敏 在 《 關于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題 》 中 通過對矩陣進行行列互換，同步求出矩陣特征值與特征向量，解決了不少帶參數(shù)求特征值問題，并給出一些新定理。邵麗麗 在 2021年 《 矩陣的特征值和特征向量的應用研究 》 中 通過對 n 階矩陣的特征值與特 征向量的研究，針對 n 階矩陣的特征值與特征向量的應用進行了 3方面的探討，并給出了相關命題的證明及相應的例題。向以華 在 《 矩陣的特征值與特征向量的研究 》 對矩陣特征值與特征向量相關問題進行系統(tǒng)的歸納，得出了通過對矩陣進行行列互逆變換就可同時求出特征值與特征向量的結(jié)論，同時討論了反問題 。 汪慶麗在《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中研究了一種只對矩陣作適當?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟 。 郭華、 劉小明 在 《特征值與特征向量在矩陣運算中的作用》 中 從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)， 結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡化矩陣運算中所起的作用 。 王秀芬 在 《 線性遞推關系中特征值與特征向量的應用 》 中 推導出一種方法，通過此方法可以利用特征值與特征向量求線性遞推關系中的通項公式。 馬巧云在 《 特征值法求解二次型的條件最值問題 》中 根據(jù) Lagrange 乘數(shù)法求解條件最值問題的原理，針對特殊的二次型條件最值問題，分析最值與特征值間的對應關系，給出二次型條件最值問題求解的特征值方法，并結(jié)合例子說明特征值方法求解的簡便及有 效，具有一定的應用價值 。 近年來，對矩陣特征值與特征向量的研究已經(jīng)很深入，本課題將對矩陣特征值與特征向量的相關問題進行系統(tǒng)的歸納。對矩陣的特征值與特征向量的基本性質(zhì)進行介紹， 根據(jù)其性質(zhì)對 矩陣特征值與特征向量的應用進行更深一步的探討。 安徽工程大學 畢業(yè)設計（論文 ） 3 研究 內(nèi)容 及方法 在前人 的 研究基礎上，本文給出了特征值與特征向量的概念 與 性質(zhì)，特征值和特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使 這一工具的使用更加 的 便利，解決問題的作用更強有力， 它的 應用也就更 加 廣泛 。 在 這基礎上，對矩陣 特征值與特征向量的計算進行 了 詳盡的闡述和 說明 。 利用特征方程 來 求特征值進而求特征向量法、列行互逆變換法 以及 矩陣的初等變換求特征值 與 特征向量 。 由于 矩陣特征值與特征向量的應用是多方面的，本文重點介紹對特征值與特征向量 應用 的 探究 ,闡述了特征值 與 特征向量在矩陣運算中的作用，利用特征值法求解二次型最值 的 問題 和 反求解問題的應用 ，以及特征值與特征向量在其他方面的應用。 在例題解析中運用 了 一些特征值與特征向量的性質(zhì) 與 方法 ， 可以使問題更 加 簡單， 在 運算上更方便，是簡化有關復雜問題的一種有效 的 途徑 。 本文就是通過大量的例子 來 說明運用特征值 和 特征向量的性質(zhì)可以使問題更清楚，從 而使高等代數(shù)中大量習題迎刃而解， 也 把特征值 和 特征向量在解決實際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn) 了 出來 。 第 2 章 特征值與特征向量的概念 特征值與特征向量的定義和性質(zhì) 線性變換的特征值與特征向量 定義 1： 設 ? 是數(shù)域 F 上 線性空間 V 的一個線性變換 ， 如果對于數(shù)域 ? 中一數(shù) 0? ， 存在一個非零向量 x ， 使得 xx??= 那么 ? 稱為 ? 的一個 特征值 ， 而稱 x 為 ? 的屬于特征值 ? 的一個 特征向量 . n 階方陣的特征值與特征向量 定義 2： 設 R 是 n 階方陣， 若 存在數(shù) 0? 和 n 維 向量 ( 0)XX? ，使得 0RX X??成立，則稱 0? 為 R 的 特征值 ， X 是對應 于 特征值 0? 的 R 的 特征向量 . 性質(zhì) 1 若 t? 是 R 的 tr 重特征值， R 對應 于 特征值 t? 有 ts 個線性無關的特征向量，則 ttsr? . 性質(zhì) 2 若 12,xx都是矩陣 R 的屬于特征值 0? 的特征向量 ,則當 12,kk不全為零時 , 1 1 2 2kx k x? 仍是 對應 于 特征值 0? 的 R 的 特征向量 ． 性質(zhì) 3 若 12, , , k? ? ? 是矩陣 R 中互不相同的特征值，其對應 特征向量分別為 12, , , kx x x ，則 12, , , kx x x 是 線性無關 的 ． 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應用 4 性質(zhì) 4 若 ? ?ij ttRr??的特征值為 12, , , t? ? ? ，則 1 2 11 22t ttr r r? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 12 t R?? ? ? ． 性質(zhì) 5 實對稱矩陣 R 的特征值都是實數(shù)，屬于不同 的 特征值的特征向量正交． ? ?,V pn 中線性變換 ? 的特征值、特征向量與矩陣 R 的特征值、特征向量之間的 關系 定理 :設 12, , , n? ? ? 是 ? ?,V pn 的一組基 ? ?LV?? , ? ? ? ?1 2 1 2, , , , , ,nn R? ? ? ? ? ? ?? 1） ? 的 特 征 值 0? 必是 R 的 特 征 值 ， ? 的屬于 0? 的 特 征 向 量1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?，則 ? ?12, , , nx x x 必是 R 的屬于特征值 0? 的特征向量 . 2）設 0? 是 R 的一個特征值，且 0??? ，則 0? 是 ? 的一個特征值 .若? ?12, , , nx x x 是 R 的一個屬于特征值 0? 的一個特征向量，則1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?是 ? 的一個屬于 0? 的特征向量 . 證明 ： 1）設 0? 是 ? 的特征值，于是有 ??0 使得 0????= ，其中 0??? ，設1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?，則 ? ?121 1 2 2 1 2, , ,n n nnxxx x x Rx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ??????? = ， 又 0????= ，所以有 ? ? ? ?11221 2 1 2 0, , , , , ,nnnnxxRxx? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?=， 由他們的坐標列相等可得 ? ?120000nxxERx??? ???????? ?????? ???? ??????， 所以其次線性方程組 ? ?0 0E R X? ??有非零解，于是 0 0ER? ??，故 0? 是 R 的特征多項式的根，即 0? 是 R 的特征值，從而 ? 的坐標是 R 的屬于 0? 的特征向量 . 2）設 0? 是 R 的一個特征值， 0??? ，且 0 0ER? ??，于是 ? ?0 0E R X? ??有安徽工程大學 畢業(yè)設計（論文 ） 5 非 零 解 ， ? ?120 , , , nnx x x? ? ?，令 nnx x x V? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 20 ， ? ?120000nxxERx??? ???????? ?????? ???? ??????， 即11220=nnxxxxRxx?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，于是 0????= ， 故 0? 是 ? 的一個特征值 ，且 ? 是 ? 的屬于 0? 的特征向量 . 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 由方陣的特征值和特征向量的定義知 :a?0 是 A 的屬于 ? 的特征向量 因為Aa a?? 所以 a 是齊次線性方程組 ? ? 0E A x? ??的非零解，所以 ? 是特征方程? ? 0Af E A?? ??的根。 將上述過程逆敘得到求數(shù)字方陣 A 的特征值和特征向量的步驟如下 : (1) 計算的特征多項式 ? ?Af E A??? ； (2) 解特征方程 0EA? ??,求出它的全部根 12, , , n? ? ? ,它們就是 A 的全部特征值。 (3) 對每一個特征值 ? ?1i in? ?? ,求出齊次線性方程組 ? ? 0i E A x? ??的一個基礎解系 ,這個基礎解系 12, , ,i i ira a a 便是 A 的屬于 ? ?1i in? ?? 的線性無關的特征向量 , 則 A 的屬于 i? 的 全 部 特 征向 量 是 這個 解 系 的非 零 線性 組 合 : 1 1 2 2i i n irk a k a k a? ? ? ,其中 12,