【正文】 ? ?? ? ? ???? ? ? ?111 5 6 1 0 012 8 6 0 2 021 3 2 0 0 3 n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n nA P P P P? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??3 1 2 1 13 1 3 1 1 2 1 1 2 23 2 3 2 3 31 0 0 1 0 0 1 2 3 5 2 3 6 6 2 2 310 2 0 0 2 0 1 2 3 5 2 3 6 6 2 2 320 0 3 0 0 3 1 2 3 5 2 3 6 6 2 2 3由（ 3）式可得： ? ? ? ? ? ?n n n n n nnD D D D? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???1 2 1 13 2 11 1 2 3 5 2 3 6 6 2 2 32 將 ,D D D? ? ?3 2 190 25 6代入上式得： nnnD??? ? ? 2213222 矩陣特征值反問(wèn)題方面的應(yīng)用 矩陣特征值反問(wèn)題的求解，即根據(jù)矩陣的特征值和特征向量的信息來(lái)決定矩陣中的元素 .當(dāng)矩陣 A 有 n 個(gè)互不相等的特征值時(shí)， A 必有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么矩陣 A 必可對(duì)角 化，故 1A PAP?? ，其中相似變換矩陣 P 由 A 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量組成 . 例 3 階方陣 A 的特征值為 ,? ? ?? ? ? ?1 2 31 0 1，對(duì)應(yīng)于特征向量分別是： ? ?Tx ?1 1 2 2 ， ? ?Tx ??2 2 2 1， ? ?Tx ? ? ?3 2 1 2，求 A 分析 此題給出了矩陣的 3 個(gè)不相同的特征值及其特征向量 .那么矩陣可對(duì)角化，顯然是矩陣特征值的反問(wèn)題，可按上面討論的方法求之 . 解： 由于 ? ?,ixi?12 3 是方陣 A 對(duì)應(yīng)于特征值 ? ?,i i? ?12 3 的特征向量，于是有： iiAx x?? ， 令 ? ?P x x x ?????? ? ? ???1 2 31 2 22 2 12 1 2，那么 P ? ??????????11 2 212 2 192 1 2 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 20 則有 AP PA? ，其中 A ??????????101.由上式可得 A PA P ? ???????????11 0 210 1 232 2 0即為所求 . 特征值法求解二次型的條件最值問(wèn)題 二次型的條件最值問(wèn)題及求解該問(wèn)題的特征值方法 二次型的條件最值問(wèn)題是一類(lèi)特殊的多元函數(shù)極值問(wèn)題 定義 設(shè)有滿足條件 ? ? ? ?, , , , , ,inF x x x i m m n? ? ?12 01的 n 個(gè)變量12, , , nx x x ，當(dāng)存在變量 ? ?,ix i n?1 的一組值 ? ?239。 39。 39。ririnirP i n r r r n??????? ? ? ? ? ???????1121，則 i? 為 A 的特征值；iTi ir???為 A 的對(duì)應(yīng)特征值 i? 的特征向量 . 證明： 由一般代數(shù)書(shū)中定理可知 A 必相似于一約當(dāng)矩陣，按定理 2 中化簡(jiǎn)方法，則有 ? ? 1T T TP A P J? ?，即 1 ,TTP A P J A P P J? ??， 其中 ? ?1 1 1 1TTrrP ? ? ? ?? ， ? ?, , ,iTTTiTriJJ J i rJ??????????? ? ??? ??????1 111 所以 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 10 ? ? ? ? 111 1 1 11 1 1TT T T Tr r r rTrJAJ? ? ? ? ? ? ? ????????， 故有 ? ?1, ,i i iA i n? ? ???， 所以 i? 為 A 的特征值； i? 為 A 的對(duì)應(yīng) i? 的特征向量 . 例 求 A ?????????2 1 10 3 12 1 3的特征值與特征向量 . 解： ? ?TAE ?????????32 0 2 1 0 01 3 1 0 1 01 1 3 0 0 1 1331rrrr???????????????1 1 0 1 0 11 3 0 0 1 01 1 4 0 0 12112rrrr???????????????2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 1 4 0 0 1 rr??????32231212?????????2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 0 4 1 2 1 2 1 233212rr??????????????2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 1 4 1 1 1 所以特征值為 ,? ? ?? ? ?1 2 324， 對(duì)應(yīng)特征值 ????122 的特征向量? ?, T? ??1 111 ，對(duì)應(yīng) ??3 4 的特征向量為 ? ?,T? ??3 1 11 . 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣 A 左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣，其秩不變 .即若 A 為 mn? 矩陣， PQ、 分別是 m和 n 階可逆矩陣，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,r P A r A r A Q r A r P A Q r A? ? ?且. 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 11 由此可知，若 ? ?r A r n??，且 I 為 n 階單位矩陣，則形如 AI??????的 ? ?m n n?? 矩陣必可經(jīng)過(guò)一系列變換成 BCD??????0的形式，其中 B 為 mr? 矩陣且 ? ?r B r? ， CD、分別為 nr? 和 ? ?n n r?? 矩陣， 0 為 ? ?m n r?? 零矩陣，從而有 定理 1 設(shè) A 為 mn? 矩陣，其秩 ? ?r A r n?? ， ? ?12, , , Tnx x x x? ，則比存在 n 階可逆矩陣 Q ，使 ABQI C D? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?0，且 D 的 nr? 個(gè)列向量就是齊次線性方程組 0Ax? 的基礎(chǔ)解系 . 證明： 此處只需證明 D 的列向量是 0Ax? 的基礎(chǔ)解系即可 . 事實(shí)上，由 ABQI C D? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?0得 ? ?? ?,0,AQ BQ C D???? ???，即 ? ? ? ?,A C D B? 0，從而AC B? ， AD?0 .這說(shuō)明 D 的 nr? 個(gè)列向量 12, , , nrD D D ? 是齊次線性方程組Ax?0 的解向量 . 另設(shè)矩陣 nrC? 的列向量為 12, , , rC C C ，則由 ? ?,Q C D? 知向量組? ?1 2 1 2, , , , , , ,r n rC C C D D D?即為 Q 的 列 向 量 ，因 Q 可 逆 ， 所 以向 量 組? ?12, , , nrD D D ?線性無(wú)關(guān)，因此 D 的列向量就是 Ax?0 的基礎(chǔ)解系 . 例 組x x x xx x x xx x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 32 3 03 2 02 2 2 05 5 2 0的一組基礎(chǔ)解系 . 解： 利用初等列變換，得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ccccccAI????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ?? ???????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 13 3 1411 2 3 1 1 0 0 03 2 1 1 3 4 8 22 2 2 1 2 2 4 15 5 2 0 5 5 13 51 0 0 0 1 2 3 10 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 12 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ccc c c cc c c???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?243 4 2 4 5 7 34 2 2 4 71 0 0 0 1 0 0 03 2 0 0 3 2 0 012 1 0 0 2 1 0 05 5 7 5 5 5 7 01 1 1 0 1 1 1 50 0 0 1 0 0 0 70 0 1 0 0 0 1 50 1 4 2 0 1 4 6 從而， ? ?rA?3 ，所求基礎(chǔ)解系為 ? ?, , , T? ??5 7 5 6 . 定理 2. 設(shè) A 為 n 階方陣，則其特征矩陣 IA?? 可通過(guò)初等列變換化為下三角矩陣，記為 ? ?? ?? ?? ?12*** nllLl ?????????????， 從而使 ? ? ? ? ? ?12 0nl l l? ? ? ?的解就是矩陣 A 的全部特征值 . 證明： 由初等變換理論，存在 n 階可逆矩陣 ? ?Q? ，使 ? ? ? ? ? ?I A Q L? ? ???，由此得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 nI A Q L l l l? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 從而使 ? ? ? ? ? ?12 0nl l l? ? ? ?的解就是 0IA? ??的解 . 這樣，由定理 1和定理 2可以得到同時(shí)求解方陣的特征值與特征向量的一種解法： 第一步，作如下初等變 換： nnIAI? ?????????? ?? 初等列變換 ? ?? ?LQ????????，并由 ? ?L? ?0 求得矩陣 A 的特征值? ?, , ,i in? ?12 . 第 二 步 ， 將 i? 代入 A ??????? ? ?????3 1 17 5 16 6 2，則有 ? ?? ?iiL BQ CD???????????????0或? ?? ?iiLQ??????????? ?? 互換某幾列 0BCD??????. 因?yàn)?? ? ? ? ? ?iiL I A Q? ? ??? ，所以由定理 1 即知 D 的列向量就是 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 i? 的線性無(wú)關(guān)的特征向量 . 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 13 例 求矩陣 A ??????? ? ?????3 1 17 5 16 6 2的特 征值與特征向量 . 解： ? ? ? ?ccIAI????? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?133 1 1 1 1 37 5 1 1 5 76 6 2 2 6 61 0 0 0 0 10 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?39。 將上述過(guò)程逆敘得到求數(shù)字方陣 A 的特征值和特征向量的步驟如下 : (1) 計(jì)算的特征多項(xiàng)式 ? ?Af E A??? ； (2) 解特征方程 0EA? ??,求出它的全部根 12, , , n? ? ? ,它們就是 A 的全部特征值。 本文就是通過(guò)大量的例子 來(lái) 說(shuō)明運(yùn)用特征值 和 特征向量的性質(zhì)可以使問(wèn)題更清楚，從 而使高等代數(shù)中大量習(xí)題迎刃而解， 也 把特征值 和 特征向量在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性表現(xiàn) 了 出來(lái) 。 由于 矩陣特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，本文重點(diǎn)介紹對(duì)特征值與特征向量 應(yīng)用 的 探究 ,闡述了特征值 與 特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，利用特征值法求解二次型最