【正文】 是二次型11nnij i jija x x????正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）的 k 倍；當(dāng)特征值為 0 時(shí)， 21 ini x??在條件 ? ?,nni j i j i j j iij a x x k a a k?? ? ? ???11 0下沒有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值倒數(shù)的 k 倍 . 證明： 作拉格朗日函數(shù) ? ?, , , n n nn i i j i ji i jL x x x x a x x k?? ? ???? ? ?????? ? ?212 1 1 11，令其關(guān)于 12, , , nx x x 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 22 ? ?? ?? ?nj j n njnj j n njnn n j j n n n n njnLx a x a x a x a xxLx a x a x a x a xxLx a x a x a x a xx??????????????? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???????1 1 1 1 1 1 2 2 1112 2 2 1 1 2 2 2 2121 1 2 212220222220， （ 4） 接下來證明參見定理 1，直到 ? 是11nnij i jija x x????系數(shù)矩陣的特征值 .再用 12, , , nx x x分 別 乘 （ 4 ） 再 相 加 得in n nij i ji j ia x x x?? ? ???? ? ? 21 1 1 0，又由于? ?,nn i j i j i j j iij a x x k a a k?? ? ? ???11 0，因此， ? ?n ii kx ??? ??? 21 0. 由于 , nii kkx????? 210隨正數(shù)特征值 ? 的減小而增大，且當(dāng) ??0 時(shí)， k? 的極限不存在，所以 21nii kx ?? ??不存在最大值，而其最小值則是最大整數(shù) 特征值倒數(shù)的 k 倍，證畢 . 特別地，二次型 21nii x??在條件 ? ?,nni j i j i j j iij a x x a a k?? ? ? ???11 10下的最大值（最小值）是二次型11nnij i jija x x????正特征值倒數(shù)中的最大值（最小值） . 特征值方法的求解步驟 ： 根據(jù)定理 1 和定理 2，只要知道二次型11nnij i jija x x????的特征值 ? ，就可以知道11nnij i jija x x????或者 21 ini x??在特定條件下的最大和最小值了，因此應(yīng)用特征值方法求解二次型條件最值問題是方便的，其步驟可歸結(jié)為： （ 1）判定問題確實(shí)屬于定理所描述的二次型條件最值問題； （ 2）求二次型11nnij i jija x x????的特征值； 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 23 （ 3）根據(jù)定理寫出二次型11nnij i jija x x????或者 21 ini x??在特定條件下的最大和最小值 . 應(yīng)用舉例 例 求 x y x y x z y z? ? ? ?222 5 4 4 8在 x y z? ? ?2 2 2 7時(shí)的最值 . 解： 二次型 x y x y x z y z? ? ? ?222 5 4 4 8的特征方程為 ?????? ? ?? ? ?2 2 22 5 4 02 4 5 解得特征值為 10,1,1 ， 根 據(jù)定 理 1 可知， x y x y x z y z? ? ? ?222 5 4 4 8在x y z? ? ?2 2 2 7時(shí)的最大和最小值分別為 70 和 7. 例 x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2在 x y z? ? ?2 2 2 5時(shí)的最值 . 解： 二次型 x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2的特征方程為 ???? ? ?? ? ? ?? ? ?2 1 11 2 1 01 1 2， 的特征值為 3,3,0，根據(jù)定理 1 可知， x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2在x y z? ? ?2 2 2 5時(shí)的最大值和最小值 0 和 15. 例 求 2 2 2x y z??在 x y z x y x z y z? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2 5時(shí)的最值 . 解： 二次型 x y z x y x z y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2的特征方程為 ???? ? ?? ? ? ?? ? ?2 1 11 2 1 01 1 2 的特征值為 3,3,0 ，根據(jù)定理 2 可 知 ， 2 2 2x y z?? 在x y z x y x z y z? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 2 2 5是的最小值為 53 ，最大值不存在 . 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì) 性質(zhì) A 為 n 階方陣， 12, , , n? ? ? 為 A 的 n 個(gè)特征值，則 12 nA ?? ?? . 性質(zhì) A 可逆 ? A 的 n 個(gè)特征值都不為零 . 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 24 性質(zhì) ? 為方陣 A 的特征值， ? ?A? 為 A 的多項(xiàng)式，則 ????為 ? ?A? 的特征值 . 性質(zhì) 4. ? 不為方陣 A 的特征值 ? 0AE???. 性質(zhì) 5.（凱萊 —— 哈密頓定理）設(shè) A 的特征多項(xiàng)式為? ? 111nn nnf a a a? ? ? ?? ?? ? ? ? ?，則 ? ? 111 nnf A A a A a A a? ?? ? ? ? ?. 性質(zhì) n 階方陣 A 的 n 個(gè)特征值為 12, , , n? ? ? ，且 12, , , nP P P 為對(duì)應(yīng)的 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，記 ? ?12, , , nP P P P? ，則 121nP AP?????????????. 性質(zhì) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣， 12, , , n? ? ? 是它的 n 個(gè)特征值，則 （ 1） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都大于零時(shí)， A 正定； （ 2） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都小于零時(shí)， A 負(fù)定； （ 3） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都非負(fù)，但至少一個(gè)等于零時(shí)， A 是半正定； （ 4） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 都非正，但至少一個(gè)等于零時(shí)， A 是半負(fù)定； （ 5） 當(dāng)且僅當(dāng) 12, , , n? ? ? 中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)時(shí)， A 是不定的 . 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用 （ 1） .求方陣 A 的行列式 A 以及 A 的多項(xiàng)式 ? ?A? 的行列式 ? ?A? . 例 A 的特征值為 1， 1,2，設(shè) ? ? 325A A A? ??，求 (1) A ； (2) ? ?A? 。 (3) 5AE? . 解 ： (1) 由性質(zhì) 1 可得 ? ?1 1 2 2A ? ? ? ? ? ?； (2) 因 ? ? 325A A A? ??，由性質(zhì) 3 可知 ??A? 的特征值為 ? ?14? ?? ，? ?16? ? ?? ， ? ?2 12? ?? .故 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 8 8==A? ? ? ?? ? ? ?. (3) A 的特征多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2f E A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，令 5=? ，得? ? ? ? ? ? ? ?5 5 5 1 5 1 5 2 72f E A? ? ? ? ? ? ?. （ 2）判斷方陣 A 及 A kE? 的可逆性 例 A ????? ? ?????3 1 04 1 04 8 2，問當(dāng) k 為何值時(shí)， A kE? 可逆 . 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 25 解 ：因 ? ? ? ? ? ?f E A ?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???23 1 04 1 0 2 14 8 2，故 ???1 2 ，????231 為 A 的三個(gè)特征值，由性質(zhì) 4 可知，當(dāng) ,k??12時(shí)， A kE? 可逆 . 例 設(shè)矩陣 A 滿足 2AE? ，證明 EA?3 可逆 . 證明 設(shè) Ax x?? ，則 22A x x?? ，因 2AE? ，即有 2xx?? ，即 ? ?x? ??2 10，而 x?0 ，只有 ? ??2 10，于是 ???1 ，可知 3 不是 A 的特征值，所以 EA??30，即 EA?3 可逆 . （ 3） .求方陣 A ， A 的逆矩陣 1A? 及 A 的 k次冪 例 A ????????1 0 20 1 1010，求 (1) 3A 。 (2) 1A? 。 (3) 5A . 解： (1) ? ?f E A ?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ??31 0 20 1 1 2 101,由性質(zhì) 5有? ?f A A A E? ? ? ?3 20，故 A A E????? ? ? ????31 0 42 0 3 20 2 1 (2) 由 ? ?f ?01，可知 0 不是 A 的特征值，由性質(zhì) 2 知 A 可逆 .而A A E A A A A E A A E A A E A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3 1 1 1 2 1 1 22 2 2 2，故 A ??????????11 2 20 0 10 1 1 (3) ? ?A A E A A A A A E A A A E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 5 3 2 5 2 22 2 2 2 4 2，故 51 2 60 8 50 5 3A??????????. 例 設(shè) 3 階方陣 A 的特征值為 ,? ? ?? ? ? ?1 2 31 0 1；對(duì)應(yīng)的特征向量依王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 26 次為 ? ?1 1,2,2 TP ? ， ? ?2 2, 2,1 TP ?? ， ? ?3 2, 1, 2 TP ? ? ? .求 kA （ k 為大于 1 的正數(shù)） . 解： 因 1 2 3,P P P 線性 無關(guān)，記 ? ?1 2 3,P P P P? ，由性質(zhì) 6 有 P A P A??????????11 0 00 0 00 0 1 所以 1A PAP?? ， ? ?1 1 1 1 1kkkA P A P P A P P A P P A P P A P? ? ? ? ?? ? ? ? 故 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?k k kk k kkk k k kA??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??1 4 1 2 2 1 2 4 11 2 2 1 0 0 1 2 2112 2 1 0 0 0 2 2 1 2 2 1 4 1 4 1992 1 2 2 1 20 0 1 2 4 1 4 2 1 4 4 1于是當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)， kA ?????????5 4 214 5 292 2 8； k 為奇數(shù)時(shí)， kA ????????1 0 210 1 232 2 0. 例 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值為 6,3,3 與特征值 6 對(duì)應(yīng)的特征向量為 ? ?, TP ?1 111 ，求 A . 解： 設(shè)對(duì)應(yīng)于 3 的特征向量為 ? ?1 2 3, Tx x x x? ，因?qū)崒?duì)稱的不同特征值下的特征向量正交，即有 39。xP?1 0 ，即 x 的分量滿足 x x x? ? ?1 2 3 3 的重?cái)?shù)為 2，所以對(duì)應(yīng)于 3 恰有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，顯然 x x x? ? ?1 2 3 0的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于 3 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 由 x x x? ? ?1 2 3 0得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?, , , , ,TTPP? ? ? ?121 1 0 1 0 1. 令 ? ?,P P P P ??????????1 2 31111 1 0