【文章內(nèi)容簡介】 x x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 32 3 03 2 02 2 2 05 5 2 0的一組基礎(chǔ)解系 . 解： 利用初等列變換，得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ccccccAI????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ?? ???????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 13 3 1411 2 3 1 1 0 0 03 2 1 1 3 4 8 22 2 2 1 2 2 4 15 5 2 0 5 5 13 51 0 0 0 1 2 3 10 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 12 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ccc c c cc c c???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?243 4 2 4 5 7 34 2 2 4 71 0 0 0 1 0 0 03 2 0 0 3 2 0 012 1 0 0 2 1 0 05 5 7 5 5 5 7 01 1 1 0 1 1 1 50 0 0 1 0 0 0 70 0 1 0 0 0 1 50 1 4 2 0 1 4 6 從而， ? ?rA?3 ，所求基礎(chǔ)解系為 ? ?, , , T? ??5 7 5 6 . 定理 2. 設(shè) A 為 n 階方陣，則其特征矩陣 IA?? 可通過初等列變換化為下三角矩陣，記為 ? ?? ?? ?? ?12*** nllLl ?????????????， 從而使 ? ? ? ? ? ?12 0nl l l? ? ? ?的解就是矩陣 A 的全部特征值 . 證明： 由初等變換理論，存在 n 階可逆矩陣 ? ?Q? ，使 ? ? ? ? ? ?I A Q L? ? ???，由此得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 nI A Q L l l l? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 從而使 ? ? ? ? ? ?12 0nl l l? ? ? ?的解就是 0IA? ??的解 . 這樣，由定理 1和定理 2可以得到同時求解方陣的特征值與特征向量的一種解法： 第一步，作如下初等變 換： nnIAI? ?????????? ?? 初等列變換 ? ?? ?LQ????????，并由 ? ?L? ?0 求得矩陣 A 的特征值? ?, , ,i in? ?12 . 第 二 步 ， 將 i? 代入 A ??????? ? ?????3 1 17 5 16 6 2，則有 ? ?? ?iiL BQ CD???????????????0或? ?? ?iiLQ??????????? ?? 互換某幾列 0BCD??????. 因為 ? ? ? ? ? ?iiL I A Q? ? ??? ，所以由定理 1 即知 D 的列向量就是 A 的對應(yīng)于特征值 i? 的線性無關(guān)的特征向量 . 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 13 例 求矩陣 A ??????? ? ?????3 1 17 5 16 6 2的特 征值與特征向量 . 解： ? ? ? ?ccIAI????? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?133 1 1 1 1 37 5 1 1 5 76 6 2 2 6 61 0 0 0 0 10 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?39。 39。 39。39。 39。 39。, , , , , , , , , , , , , , , ,nniinF x x x i m m nx i n y f x x x f x x x i m m n? ? ?? ? ? ? ? ?2211 2 1011 0 1 所以，由 ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?24 4 4 0得矩陣 A 的特征值為 ,? ? ?? ? ? ?1 2 324. 將 ???1 2 代入，得 ? ?? ?LQ????????????? ?? ?????? ????????111001 6 00 6 0001011110. 所 以對應(yīng)于 ???2 的特征向量為 ? ?, T? ?1 110 ( 此處二重特征值只對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量 ). 將 ??3 4 代入，得 ? ?? ?? ? ? ?ccLQ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?23331 0 0 1 0 01 0 0 1 0 06 0 36 6 36 00 0 1 0 1 00 1 1 0 1 11 1 6 1 6 1. 所以對應(yīng)于 ??4 的特征向量為 ? ?, T? ?2 011 . 這里用初等列變換的方法同時求出來矩陣的特征值與特 征向量，完全類似地，利用初等行變換也可以實現(xiàn)這一過程，其方法如下： (1) 對矩陣 ? ?TI A I??????施行初等行變換將其化為矩陣 ? ? ? ?UP??????，其中王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 14 ? ?U? 為含有 ? 的上三角矩陣， ? ?P? 為 I 經(jīng)過初等變換得到的矩陣； (2) 由行列 式 ()U? ?0 求得矩陣 A 的特征值 ? ?, , ,in?12 ； (3) 將 ? ?, , ,i in? ?12 代入 ? ? ? ?UP??????中，若 ? ?iU? 不是行標(biāo)準(zhǔn)形， 則通過初等行變換將其化為行標(biāo)準(zhǔn)型，并記秩 ? ?? ?ir U r? ? ， 則 ? ?iP? 中的后 nr? 個行向量的轉(zhuǎn)置就是 i? 對應(yīng)的特征向量． 例 征值與特征向量 . 解 ：因為特征矩陣 IA ??????????? ? ? ? ?????1 3 33 5 36 6 4，所以 ? ? TI A I????? ? ???????? ? ???? ? ???1 3 6 1 0 03 5 6 0 1 03 3 4 0 0 1 ? ? ? ?rr????? ? ?????????? ?? ? ???133 3 4 0 0 13 5 6 0 1 01 3 6 1 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?rrrr ??? ? ???????? 213 1 1 3???? ? ??????? ? ???? ? ?????23 3 4 0 0 10 2 2 0 1 15 14 10 2 1 033 ? ? ? ?32rr??????? ? ? ?UP?? ? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ? ????? ? ???23 3 4 0 0 10 2 2 0 1 12 8 20 0 1 133 從而由 ? ? 0U ? ? 即 ? ?? ?? ? ?? ? ? ?22 2 8 0求得 A 的特征值為 ???2 （二重）和 ??4 . 當(dāng) ???2 時， ? ? ? ?UP?? ??????????????3 3 6 0 0 10 0 0 0 1 10 0 0 1 1 0，所以 ? ?? ?rU??21，且 ? ?2P? 的 后 兩 行 的 轉(zhuǎn) 置 即 為 ???2 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 ， 即安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文 ） 15 ? ? ? ?, , , , ,TT????120 1 1 1 1 0. 當(dāng) ??4 時， ? ? ? ?UP?? ?????????????3 3 0 0 0 10 6 6 0 1 10 0 0 1 1 2，所以 ? ?? ?42rU ? ，且??4P 的最后一行的轉(zhuǎn)置即為 ??4 對應(yīng)的特征向量，即 ? ?3 1,1, 2 T? ? . 第 3 章 特征值與特征向量的基礎(chǔ)應(yīng)用 特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用 用特征值和特征向量對一般線性遞推關(guān)系進行討論 . 設(shè) K 階線性循環(huán)數(shù)列 ??nx 滿足遞推關(guān)系： ? ?, ,n n n k n kx a x a x a x n k k? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 12 其中 ? ?, , ,ia i k??12 是常數(shù)，且 ka?0 ， 方程組 1 1 2 2 ,112211n n n k n knnnnn k n kx a x a x a xxxxxxx? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ?????????? 可表示為矩陣形式 n kknnnnnknkx a a a axxxxxx?????????? ?????? ?????????? ????? ??????????????1 2 1112211 0 0 00 1 0 00 0 1 0 （ 1） 令 ,nnkknnn k n n knknkxxa a a axxxAxx??????? ? ? ??????????????????????? ? ????????????? ??????11 2 1121211 0 0 00 0 1 0 則（ 1）可寫成： 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 16 1n k n kA??? ? ?? （ 2） 由（ 2）式遞推得 21 1 1nkn k n kAA? ? ??? ? ? ?? ? ?，其中 ? ?1 1 2 1, , , , Tkkx x x x? ?? ，于是求通項 nx 就歸結(jié)為求 1nk??? ，也就是求 nkA? . 如果 A 可對角化，即存在可逆矩陣 P ，使得 1P AP A? ? ，則 1n k n kA PA P? ? ?? ，由于 1 2 11 0 00 1 0 00 0 1kka a a aEA?????? ? ? ???? ?? 從第一列開始每一列乘以 ? 加到后一列上，就得到如下的矩陣： k k k kk k ka a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????2 1 2 11 1 2 1 1 1 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0 111kk kka a a? ? ?? ?? ? ? ? ? 若 ? 是 A 的特征值，顯然有 ? ? 1R E A k? ? ? ?，則線性齊次方程組? ? 0E A X? ??的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量，因此當(dāng) A 有 k 個特征值12, , , k? ? ? 時，這 k 個特征值對應(yīng)的特征向量分別為 12, , , kP P P ，由這 k 個特征向量為列構(gòu)成的方陣記為 P ，則 P 是可逆的，并且 1P AP A? ? .其中 12000000 nA???????????? 例 設(shè)數(shù)列 ??nx 滿足遞推關(guān)系： ? ?n n n nx x x x n