求矩陣特征值的數(shù)值方法和習(xí)題-展示頁
2025-05-22 05:49本頁面
【正文】 nnijaA ??如果 AA T ? ，則稱 A 為 對稱矩陣 。 定義 2 設(shè)nnij RaA??? )(是對稱矩陣，且對,0nx R x? ? ?， 都有 ,10nTij i jijx A x a x x????， 則稱 A 為 正定矩陣 。 （ 2 ） A 的所有特征值都是正數(shù)。 定義 3 ． 設(shè) nnij CaA ??? )(，且 IAA T ? ，則稱 A 為 正交矩陣 。 （ 2 ）若 A 為正交矩陣，則 TAA ?? 1 。 （ 4 ）若 A 為正交矩陣，則1?A或1??A。 5 定理 3 ． ? 為方陣 A 的特征值 ， 則 ? 是方程 0IA? ?? 的根 ． 注．顯然，若 ? 為方陣 A 的特征值，則存在向量 0?x ，使得：?A x x? ，即齊次線性方程組 ? ? 0??I A x? 有非零解．所以系數(shù)行列式0IA? ??．同時(shí)可知，屬于 ? 的特征向量是? ? 0??I A x?的非零解． 6 定理 4 ． ? 為方陣 A 的特征值 ， ? ?Pt 是一個(gè)多項(xiàng)式，則 ? ?P ? 是 證明：設(shè) ? ?11 1 0......mmmmP t a t a t a t a??? ? ? ? ?， x 是屬于 ? 的 特征向量．則： ? ? 11 1 0......mmmmP A a A a A a A a I??? ? ? ? ?， ? ? 11 1 0??? ? ? ? ?......mmmmP A x a A x a A x a Ax a x 11 1 0??? ? ? ? ?......mmmma x a x a x a x? ? ?? ?Px ?? 即， ? ?P ? 是 ? ?PA 的一個(gè)特征值 ? ?PA 的一個(gè)特征值 ． 7 定理 5 ． ? 為方陣 A 的特征值，若12,xx都是屬于 ? 的特征向量，則： ? ?1 1 2 2 1 2 0? ? ?a x a x a a 也是屬于 ? 的特征向量． 證明： ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2? ? ? ? ?A a x a x a Ax a Ax a x a x?， 所以．1 1 2 2?a x a x是屬于 ? 的特征向量． 8 2 ．冪法 冪法是計(jì)算實(shí)矩陣按模最大的特征值及其對應(yīng)特征向量的一種迭代方法，主要適用于中小型矩陣和大型稀疏矩陣。 9 對于任何初始向量0z，構(gòu)造迭代序列：? ?21 2 0??? ? ? ?... kk k kz Az A z A z， 又設(shè)0 1 1 2 2 ... nnz a x a x a x? ? ? ?， ( 1 , 2 , .. ., )j j jA x x j n???， 因此有：1 1 12 1????? ????? ()njkkk j jjz a x a x???。 為了控制kz的無限增長或收斂于零，利用如下冪法的計(jì)算格式． 12 于是， 21 2 0 0101????? ? ? ? ??......m a x ( )kkkkk k kk k kjjAz A z A z A zzm m m A zm， 由此可得 ： 112 1112 1???????????????? ????? ??????m axknjjjjkknjjjja x a xza x a x????， ? ? 12??m ax , , , ...kkm Az k． 13 （ 1 ） 當(dāng)n??? ??? . ..21時(shí)，由于11j???， ? ?10kjk????? ? ?????． 故有 1112 111112 1??????? ?????? ?? ????
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